Chứng minh vtAH=vtB'C biết B' là điểm đối xứng của B

Lời giải:

Vì $O$ là tâm ngoại tiếp nên \(OA=OC=OB=OB'\Rightarrow AB'CB\) là tứ giác nội tiếp.

Do đó, \(\angle ABB'=\angle ACB'\Leftrightarrow \angle ABO=\angle ACB'\)\((1)\)

Vì $AOC$ là tam giác cân tại $O$ nên:
\(\angle OAC=\frac{180^0-\angle AOC}{2}=\frac{180^0-2\angle ABC}{2}\) (tính chất của góc nội tiếp và góc ở tâm)

\(\Leftrightarrow \angle OAC=90^0-\angle ABC=\angle BAH\)

\(\Leftrightarrow \angle OAC+\angle HAO=\angle BAH+\angle HAO\Leftrightarrow \angle BAO=\angle HAC\)

\(\Leftrightarrow \angle ABO=\angle HAC(2)\)

Từ \((1),(2)\Rightarrow \angle HAC=\angle ACB'\Rightarrow AH\parallel B'C\)

Xét tam giác $BAB'$ có đường trung tuyến bằng một nửa cạnh đối diện ( \(OA=\frac{1}{2}BB'\) ) nên là tam giác vuông, do đó \(AB'\perp AB\)

Mà \(CH\perp AB\Rightarrow CH\parallel AB'\)

Tứ giác $AB'CH$ có các cặp cạnh đối song song nhau nên là hình bình hành, do đó \(B'C=AH\)

Từ đó ta thấy \(\overrightarrow {AH},\overrightarrow {B'C}\) là hai vecto cùng phương, cùng hướng và có độ dài bằng nhau nên bằng nhau.