YOMEDIA
NONE

Chứng minh rằng nếu các số a, b, c đều dương thì: \(\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{b^2}}}{{c + a}} + \dfrac{{{c^2}}}{{a + b}} \ge \dfrac{{a + b + c}}{2}\)\( \ge \dfrac{{ab}}{{a + b}} + \dfrac{{bc}}{{b + c}} + \dfrac{{ca}}{{c + a}}\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Phan Thiện Hải

    \(\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{b + c}}{4} \ge a;\) \(\dfrac{{{b^2}}}{{a + c}} + \dfrac{{a + c}}{4} \ge b;\) \(\dfrac{{{c^2}}}{{a + b}} + \dfrac{{a + b}}{4} \ge c.\)

    Do đó \(\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{b^2}}}{{a + c}} + \dfrac{{{c^2}}}{{a + b}} \ge \dfrac{{a + b + c}}{2}.\)

    Mặt khác từ bất đẳng thức \({\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\) và \(x, y > 0\) ta suy ra :

    \(\dfrac{{2ab}}{{a + b}} \le \dfrac{{a + b}}{2};\) \(\dfrac{{2bc}}{{b + c}} \le \dfrac{{b + c}}{2};\) \(\dfrac{{2ca}}{{c + a}} \le \dfrac{{c + a}}{2}.\)

    Cộng từng vế các bất đẳng thức và chia hai vế cho 2 ta được

    \(\dfrac{{ab}}{{a + b}} + \dfrac{{bc}}{{b + c}} + \dfrac{{ca}}{{c + a}} \le \dfrac{{a + b + c}}{2}.\)

    Đẳng thức xảy ra khi \(a = b = c.\)

      bởi Phan Thiện Hải 22/02/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF