Chứng minh hàm số \(y = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).

Hàm số \(y = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\) .

Lấy \({x_1},{x_2} \in D,{x_1} \ne {x_2}\) .

Lập tỉ số

\(\begin{array}{l}k = \dfrac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\\;\; = \dfrac{{\dfrac{{2{x_2} - 1}}{{{x_2} + 1}} - \dfrac{{2{x_1} - 1}}{{{x_1} + 1}}}}{{{x_2} - {x_1}}}\\\;\; = \dfrac{{\left( {2{x_2} - 1} \right)\left( {{x_1} + 1} \right) - \left( {2{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}}{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\;\; = \dfrac{{3{x_2} - 3{x_1}}}{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}}\\ \;\;= \dfrac{3}{{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}}\end{array}\)

Nếu \({x_1},{x_2} \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\) thì \({x_1} <  - 1,{x_2} <  - 1\) .Suy ra \({x_1} + 1 < 0,{x_2} + 1 < 0\) . Do đó \(k{\rm{ }} > {\rm{ }}0\). Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) .

Nếu \({x_1},{x_2} \in \left( { - 1; + \infty } \right)\) thì \({x_1} >  - 1,{x_2} >  - 1\). Suy ra \({x_1} + 1 > 0,{x_2} + 1 > 0\) . Do đó \(k{\rm{ }} > {\rm{ }}0\). Vây hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)