YOMEDIA
NONE

Chứng minh ab/(3+c^2)+bc/(3+a^2)+ca/(3_b^2) < =3/4

Cho a,b,c là số dương thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\) . Chứng minh rằng

a/ \(a^2b+b^2c+c^2a\le3\)

b/ \(\dfrac{ab}{3+c^2}+\dfrac{bc}{3+a^2}+\dfrac{ca}{3+b^2}\le\dfrac{3}{4}\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Độc Bá Thiên Hạ

    b) Áp dụng BĐT Cauchy ta có :

    \(ab\le\dfrac{a^2+b^2}{2}=\dfrac{3-c^2}{2}\) tương tự

    \(bc\le\dfrac{3-a^2}{2}\) ; \(ac\le\dfrac{3-b^2}{2}\)

    BĐT cần chứng minh trở thành :

    \(\dfrac{3-a^2}{2\left(3+a^2\right)}+\dfrac{3-b^2}{2\left(3+b^2\right)}+\dfrac{3-c^2}{2\left(3+c^2\right)}\le\dfrac{3}{4}\)

    Ta chứng minh BĐT phụ sau

    \(\dfrac{3-c^2}{2\left(3+c^2\right)}\le\dfrac{c^2}{4}\)\(\Leftrightarrow12-4c^2\le2c^2\left(3+c^2\right)\Leftrightarrow c^4+5c^2+6\ge0\)

    \(\Leftrightarrow\left(c^2+2\right)\left(c^2+3\right)\ge0\) (luôn đúng)

    tương tự : \(\dfrac{3-a^2}{2\left(3+c^2\right)}\le\dfrac{a^2}{4}\) ; \(\dfrac{3-b^2}{2\left(3+b^2\right)}\le\dfrac{b^2}{4}\)

    Cộng Ba vế BĐT trên lại ta có:

    \(\dfrac{3-a^2}{2\left(3+a^2\right)}+\dfrac{3-b^2}{2\left(3+b^2\right)}+\dfrac{3-c^2}{2\left(3+c^2\right)}\le\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4}=\dfrac{3}{4}\)

    Vậy ta có đpcm

      bởi Độc Bá Thiên Hạ 02/11/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON