YOMEDIA
NONE

Chứng minh (a+b)^2/2+(a+b)/4>=a căn b+b căn a

Chứng minh BĐT :

\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}+\dfrac{a+b}{4}\ge a\sqrt{b}+b\sqrt{a}\) với a,b\(\ge\)0

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Áp dụng bđt Cô-si chi 2 số không âm, ta có:\(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}+\dfrac{a+b}{4}=\dfrac{a+b}{2}\left(a+b+\dfrac{1}{2}\right)\ge\sqrt{ab}\left(a+b+\dfrac{1}{2}\right)\)

    Xét \(\sqrt{ab}\left(a+b+\dfrac{1}{2}\right)\ge a\sqrt{b}+b\sqrt{a}\)

    \(\Leftrightarrow\sqrt{ab}\left(a+b+\dfrac{1}{2}\right)\ge\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)

    \(\Leftrightarrow a+b+\dfrac{1}{2}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)

    \(\Leftrightarrow a-\sqrt{a}+\dfrac{1}{4}+b-\sqrt{b}+\dfrac{1}{4}\ge0\)

    \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

    \(\Rightarrow\sqrt{ab}\left(a+b+\dfrac{1}{2}\right)\ge a\sqrt{b}+b\sqrt{a}\)

    \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}+\dfrac{a+b}{4}\ge\sqrt{ab}\left(a+b+\dfrac{1}{2}\right)\)

    \(\Rightarrow\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}+\dfrac{a+b}{4}\ge a\sqrt{b}+b\sqrt{a}\)

      bởi Trần Hoàng Lâm 06/11/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF