Chứng minh a/(a+1)^2+b/(b+1)^2+c/(c+1)^2... < =1/4

Một lời giải sơ cấp:

Đổi \(\left(a;b;c\right)\rightarrow\left(\dfrac{x}{y};\dfrac{y}{z};\dfrac{z}{x}\right)\).BDT cần chứng minh tương đương:

\(\sum\dfrac{xy}{\left(x+y\right)^2}-\dfrac{4xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\le\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left[\dfrac{3}{4}-\sum\dfrac{xy}{\left(x+y\right)^2}\right]+\left[\dfrac{4xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}-\dfrac{1}{2}\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sum\left[\dfrac{1}{4}-\dfrac{xy}{\left(x+y\right)^2}\right]-\dfrac{\sum\left(x^2+y^2\right)z-6xyz}{2\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sum\dfrac{\left(x-y\right)^2}{4\left(x+y\right)^2}-\dfrac{\sum z\left(x-y\right)^2}{2\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sum\left(x-y\right)^2\left[\dfrac{1}{4\left(x+y\right)^2}-\dfrac{z}{2\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\right]\ge0\)

hay \(S_a\left(y-z\right)^2+S_b\left(z-x\right)^2+S_c\left(x-y\right)^2\ge0\)(*)

với \(\left\{{}\begin{matrix}S_a=\dfrac{1}{4\left(y+z\right)^2}-\dfrac{x}{2\prod\left(x+y\right)}=\dfrac{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}{4\left(y+z\right)^2\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\\S_b=\dfrac{1}{4\left(x+z\right)^2}-\dfrac{y}{2\prod\left(x+y\right)}=\dfrac{\left(y-x\right)\left(y-z\right)}{4\left(x+z\right)^2\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\\S_c=\dfrac{1}{4\left(x+y\right)^2}-\dfrac{z}{2\prod\left(x+y\right)}=\dfrac{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}{4\left(x+y\right)^2\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\end{matrix}\right.\)

Dễ thấy \(S_a;S_b;S_c\) không phải là luôn không âm.Giả sử \(x=max\left\{x;y;z\right\}\).

Từ đó suy ra \(S_a\ge0\).Xét \(S_b+S_c=\dfrac{\left(y-z\right)^2}{4\left(x+y\right)^2\left(x+z\right)^2}\ge0,\forall x;y;z>0\)

Do đó \(VT=S_a\left(x-y\right)^2+\left[S_b\left(z-x\right)^2+S_c\left(x-y\right)^2\right]\ge0\)

Ta sẽ chứng minh \(S_b\left(z-x\right)^2+S_c\left(x-y\right)^2\ge0\) với \(S_b+S_c\ge0\)

và điều này đúng hay không e không biết, quan trọng là .. Chúc Mừng Năm Mới !!