YOMEDIA
NONE

Chứng minh a^2+b^2+c^2+4abc>=13/27 biết a,b,c là 3 cạnh tam giác

Cho tam giac ABC co do dai ba canh la a, b, c va chu vi bang 1. Chung minh: 

a2 +b2+c2 +4abc > 13/27

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Đỗ thị bích Trâm

    Lời giải:

    Áp dụng bất đẳng thức Schur cho $a,b,c$ là ba cạnh của tam giác:

    \(abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=(1-2a)(2-2b)(1-2c)\)

    \(\Leftrightarrow 9abc\geq 4(ab+bc+ac)-1\)

    Do đó: \(A=a^2+b^2+c^2+4abc\geq a^2+b^2+c^2+\frac{16(ab+bc+ac)}{9}-\frac{4}{9}\)

    Ta có:

    \(a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=(a+b+c)^2=1\)

    Áp dụng BĐT AM-GM: \(ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{-2(ab+bc+ac)}{9}\geq \frac{-2}{27}\)

    Cộng theo vế: \(a^2+b^2+c^2+\frac{16(ab+bc+ac)}{9}\geq \frac{29}{27}\Rightarrow A\geq \frac{29}{27}-\frac{4}{9}=\frac{13}{27}\)

    Do đó ta có đpcm

    Dấu $=$ xảy ra khi $3a=3b=3c=1$ hay tam giác $ABC$ là tam giác đều.

      bởi Đỗ thị bích Trâm 07/11/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON