YOMEDIA
NONE

Chứng minh 3(abc+4)>=5(ab+bc+ca) biết a+b+c=3

Cho a,b,c thuộc R thỏa \(a+b+c=3\)\(abc\ge-4\)

Chứng minh :\(3\left(abc+4\right)\ge5\left(ab+bc+ca\right)\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Lời giải:

    TH1 : Nếu \(a+b\geq 4\);

    \(5ab+5bc+5ac=5ab+5(a+b)(3-a-b)=15(a+b)-5(a^2+b^2)-5ab\)

    \(=15(a+b)-\frac{5}{2}(a+b)^2-\frac{5}{2}(a^2+b^2)\leq 15(a+b)-\frac{5}{2}(a+b)^2-\frac{5}{4}(a+b)^2\)

    \(\Leftrightarrow 5(ab+bc+ac)\leq 15(a+b)-\frac{15}{4}(a+b)^2\leq 15(a+b)-15(a+b)=0\)

    Mà \(3(abc+4)\geq 0\) vì \(abc\geq -4\)

    Do đó ta có đpcm.

    TH2: Nếu \(a+b\leq 4\)

    Không mất tổng quát giả sử \(c=\min(a,b,c)\Rightarrow c\leq 1\Rightarrow a+b\geq 2\)

    Đặt \(\left\{\begin{matrix} a+b=x\\ ab=y\end{matrix}\right.\)

    Khi đó, \(c=3-(a+b)=3-x\). Bài toán chuyển về chứng minh:

    \(3y(3-x)+12\geq 5y+5x(3-x)\)

    \(\Leftrightarrow 5x^2+4y+12\geq 3xy+15x\)

    \(\Leftrightarrow 3y(4-x)+3(x-1)(x-4)+2(x^2-4y)\geq 0\)

    \(\Leftrightarrow 3(4-x)(y+1-x)+2(x^2-4y)\geq 0\)

    \(\Leftrightarrow 3(4-a-b)(a-1)(b-1)+2(a-b)^2\geq 0\) \((1)\)

    Đặt \(\left\{\begin{matrix} a-1=m\\ b-1=n\end{matrix}\right.\)

    \((1)\Leftrightarrow 3(2-m-n)mn+2(m-n)^2\geq 0\)

    \(\Leftrightarrow 2(m^2+n^2)+2mn-3mn(m+n)\geq 0\) \((\star)\)

    Thấy rằng, \(m+n=a+b-2\geq 0\)

    \(\bullet\)Nếu \(mn\leq 0\Rightarrow 3mn(m+n)\leq 0\)

    \(\Rightarrow 2(m^2+n^2)+2mn-3mn(m+n)\geq 2(m^2+n^2)+2mn=m^2+n^2+(m+n)^2\geq 0\) , tức \((\star)\) đúng

    \(\bullet\) Nếu \(mn\geq 0\)

    Vì \(a+b\leq 4\Rightarrow m+n\leq 2\Rightarrow mn(m+n)\leq 2mn\)

    Do đó, \(2(m^2+n^2)+2mn-3mn(m+n)\geq 2(m^2+n^2)+2mn-6mn=2(m-n)^2\geq 0\)

    Tức \((\star)\) đúng.

    Vậy \((\star)\) đúng, ta có đpcm.

    Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(2,2,-1)\) và hoán vị.

      bởi Nguyễn Quỳnh Chi 05/11/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF