YOMEDIA
NONE

Chứng minh 1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)+3/(a+b+c)>=1/căn(ab+bc+ca)

Cho a;b;c không âm . Chứng minh :

\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{3}{a+b+c}\ge\dfrac{1}{\sqrt{ab+bc+ca}}\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • phạm văn thanh

    Sorry , it's a mistake .

    Đề bài : Cho a,b,c không âm . Chứng minh rằng :

    \(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{3}{a+b+c}\ge\dfrac{4}{\sqrt{ab+bc+ca}}\)

    Lời giải:

    Chuẩn hóa a+b+c=1.Áp dụng AM-GM ta được:

    \(\dfrac{1}{ab+bc+ca}+4\ge2\sqrt{\dfrac{4}{ab+bc+ca}}=\dfrac{4}{\sqrt{ab+bc+ca}}\)

    Do vậy ta chỉ cần đi chứng minh:

    \(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{3}{a+b+c}\ge\dfrac{1}{ab+bc+ca}+4\)

    hay \(\sum\dfrac{a}{b+c}+6\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}+4\)

    \(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\)

    \(\Leftrightarrow\sum\left[a\left(b+c\right)+bc\right].\dfrac{a}{b+c}\ge a^2+b^2+c^2\)

    \(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+abc\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge a^2+b^2+c^2\)

    Điều này luôn đúng do a,b,c không âm .Vậy ta có đpcm.

    Dấu = xảy ra khi 1 số bằng 0 , 2 số còn lại bằng nhau.

    P/s: nhờ ý tưởng of sir :V

      bởi phạm văn thanh 02/11/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON