YOMEDIA
NONE

Chứng minh 1/a^2+1/b^2+1/c^2+3>=2(a+b+c)

Cho a,b,c là số dương thỏa mãn abc=1

CMR \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+3\ge2\left(a+b+c\right)\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Nguyên Bá

    \(BĐT\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{3}{abc}\ge2\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)\)

    Đổi \(\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\)

    \(BĐT\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+3abc\ge2\left(ab+bc+ca\right)\) , abc=1.

    Theo nguyên lý diriclet thì trong 3 số a-1; b-1; c-1 có ít nhất 2 số cùng dấu .Giả sử đó là a-1 và b-1 thì \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Leftrightarrow ab+1\ge a+b\)

    \(\Leftrightarrow abc\ge ac+bc-c\)

    khi đó BĐT cần cm tương đương :

    \(a^2+b^2+c^2+3\left(ac+bc-c\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

    hay \(\left(a-b\right)^2+c\left(a+b+c-3\right)\ge0\)

    Điều này luôn đúng do \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\)

    Vậy BĐt được chứng minh.Dấu = xảy ra khi a=b=c=1.

      bởi Nguyên Bá 02/11/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF