YOMEDIA
NONE

Cho các số a, b, c không âm sao cho tổng hai số bất kì đều dương

Cứu với mọi người!

Cho các số a, b, c không âm sao cho tổng hai số bất kì đều dương. Chứng minh rằng: \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\frac{9\sqrt{ab+bc+ca}}{a+b+c}\geq 6\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Hy Vũ

    Đặt \(P=\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\frac{9\sqrt{ab+b+ca}}{a+b+c}\)
    Giả sử \(a\geq b\geq c\), khi đó \(\sqrt{\frac{ab}{a+c}}+\sqrt{\frac{ac}{a+b}}\geq \sqrt{\frac{b.b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c.c}{c+b}}=\sqrt{b+c}\)
    Suy ra \(\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq \sqrt{\frac{b+c}{a}}\)
    Đặt \(t=b+c\) thì \(P\geq \sqrt{\frac{a}{t}}+\sqrt{\frac{t}{a}}+\frac{9\sqrt{at}}{a+t}\)
    Ta có \(\sqrt{\frac{a}{t}}+\sqrt{\frac{t}{a}}+\sqrt{\frac{9\sqrt{at}}{a+t}}=\frac{a+t}{\sqrt{at}}+\frac{9\sqrt{at}}{a+t}\geq 6\) 
     (AM-GM). Do đó P \(\geq\) 6 (đpcm).
    Đẳng thức xảy ra khi a + t = \(3\sqrt{at}\) và chẳng hạn một bộ (a, b, c) thỏa mãn là
    \((a,b,c)=\left ( \frac{7+3\sqrt{5}}{2} ;1;0\right )\)

      bởi Hy Vũ 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON