Cho các mệnh đề như sau: I. (\sin \dfrac{{11\pi }}{6} \ne \sin \left( {\dfrac{{5\pi }}{6} + 1505\pi } \right)\)

Mệnh đề I:

\(\begin{array}{l}\sin \dfrac{{11\pi }}{6} =  - \dfrac{1}{2}\\\sin \left( {\dfrac{{5\pi }}{6} + 1505\pi } \right) =  - \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow \sin \dfrac{{11\pi }}{6} = \sin \left( {\dfrac{{5\pi }}{6} + 1505\pi } \right)\end{array}\)

Do đó I đúng.

Mệnh đề II:

Cho \(k = 1\) thì \(\sin \pi  = 0\) và \({\left( { - 1} \right)^1} =  - 1\) nên \(\sin \pi  \ne {\left( { - 1} \right)^1}\)

Do đó  II sai.

Mệnh đề III:

+) Nếu \(k = 2n,n \in \mathbb{Z}\) thì:

\(\begin{array}{l}\cos k\pi  = \cos \left( {2n\pi } \right) = 1\\{\left( { - 1} \right)^k} = {\left( { - 1} \right)^{2n}} = 1\end{array}\)

\( \Rightarrow \cos k\pi  = {\left( { - 1} \right)^k}\) khi \(k\) chẵn.

+) Nếu \(k = 2n + 1,n \in \mathbb{Z}\) thì:

\(\begin{array}{l}\cos k\pi  = \cos \left( {2n + 1} \right)\pi \\ = \cos \left( {2n\pi  + \pi } \right) = \cos \pi  =  - 1\\{\left( { - 1} \right)^k} = {\left( { - 1} \right)^{2n + 1}} =  - 1\end{array}\)

\( \Rightarrow \cos k\pi  = {\left( { - 1} \right)^k}\) khi \(k\) lẻ.

Vậy \(\cos k\pi  = {\left( { - 1} \right)^k}\) với mọi \(k \in \mathbb{Z}\).

Do đó III đúng.

Chọn D