Bất phương trình \(\sqrt x + \sqrt {4 - x} + 2\sqrt {4x - {x^2}} \ge 2\) có tập nghiệm \(S = \left[ {a;\,\,b} \right],\,\,a < b\). Tính tổng \(P = {a^{2019}} + {b^{2019}}\).

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\4 - x \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \le 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow 0 \le x \le 4\)

Đặt \(t = \sqrt x  + \sqrt {4 - x} \,\,\left( {t \ge 0} \right)\)

\( \Rightarrow {t^2} = x + 2.\sqrt x .\sqrt {4 - x}  + 4 - x\)

\( \Leftrightarrow {t^2} = 2\sqrt {x\left( {4 - x} \right)}  + 4\)\( = 2\sqrt {4x - {x^2}}  + 4\)

Bất phương trình trở thành:

\(t + {t^2} - 4 \ge 2 \Leftrightarrow {t^2} + t - 6 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \ge 2\\t \le  - 3\end{array} \right.\)

Kết hợp với điều kiện ta được \(t \ge 2\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {t^2} \ge 4\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {4x - {x^2}}  + 4 \ge 4\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {4x - {x^2}}  \ge 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {4x - {x^2}}  \ge 0\\ \Leftrightarrow 4x - {x^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow 0 \le x \le 4\end{array}\)

\( \Rightarrow x \in \left[ {0;\,\,4} \right]\)\( \Rightarrow a = 0;\,\,b = 4\)

Thay \(a = 0,\,\,b = 4\) vào biểu thức \(P = {a^{2019}} + {b^{2019}}\) ta được: \(P = {0^{2019}} + {4^{2019}}\)\( = {\left( {{2^2}} \right)^{2019}} = {2^{4038}}\)

Chọn B.