YOMEDIA
NONE
  • Câu hỏi:

    Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho điểm \(A\left( { - 1;2} \right);\,\,B\left( {3;4} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :\,\,x - 2y - 2 = 0\). Tìm điểm \(M \in \Delta \) sao cho \(2A{M^2} + M{B^2}\) có giá trị nhỏ nhất.

    • A. \(M\left( {\frac{{26}}{{15}}; - \frac{2}{{15}}} \right)\)  
    • B. \(M\left( {\frac{{26}}{{15}};\frac{2}{{15}}} \right)\)  
    • C. \(M\left( {\frac{{29}}{{15}};\frac{{28}}{{15}}} \right)\)   
    • D. \(M\left( {\frac{{29}}{{15}}; - \frac{{28}}{{15}}} \right)\) 

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: A

    Gọi điểm \(I\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn \(2\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow 2\left( { - 1 - a;\;2 - b} \right) + \left( {3 - a;\;4 - b} \right) = \overrightarrow 0 \)

    \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( { - 1 - a} \right) + 3 - a = 0\\2\left( {2 - b} \right) + 4 - b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3a + 1 = 0\\ - 3b + 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{3}\\b = \frac{8}{3}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{1}{3};\frac{8}{3}} \right).\)

    Ta có: \(2A{M^2} + M{B^2} = 2{\left( {\overrightarrow {IM}  - \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IM} } \right)^2}\)

    \(\begin{array}{l} = 2\left( {I{M^2} - 2\overrightarrow {IM} .\overrightarrow {IA}  + I{A^2}} \right) + I{B^2} - 2\overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IM}  + I{M^2}\\ = 3I{M^2} + 2I{A^2} + I{B^2} - 2\overrightarrow {IM} \left( {2\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} } \right) = 3I{M^2} + 2I{A^2} + I{B^2}\end{array}\)

    \(2I{A^2} + I{B^2}\) không thay đổi nên \(2A{M^2} + M{B^2}\) nhỏ nhất khi IM  nhỏ nhất

    \( \Leftrightarrow \) M là hình chiếu vuông góc của I  lên \(\Delta \)

     \(\Delta \) có VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 2} \right)\)

    Gọi d  là đường thẳng đi qua I  vuông góc với \(\Delta \)

    \( \Rightarrow \) d  nhận \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;\;1} \right)\) làm VTPT

    \( \Rightarrow \)Phương trình tổng quát của d  là: \(2\left( {x - \frac{1}{3}} \right) + \left( {y - \frac{8}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - \frac{{10}}{3} = 0\)

    M  là giao điểm của d và \(\Delta \)\( \Rightarrow \) tọa độ điểm M  là nghiệm của hệ phương trình:

     \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - \frac{{10}}{3} = 0\\x - 2y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{26}}{{15}}\\y =  - \frac{2}{{15}}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{{26}}{{15}}; - \frac{2}{{15}}} \right).\)

    Vậy \(M\left( {\frac{{26}}{{15}}; - \frac{2}{{15}}} \right)\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

    Chọn A.

    ADSENSE

Mã câu hỏi: 381628

Loại bài: Bài tập

Chủ đề :

Môn học: Toán Học

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

 
YOMEDIA

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

AANETWORK
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF