Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với \(A\left( m;0;0 \right), B\left( 0;m-1;0 \right); C\left( 0;0;m+4 \right)\) thỏa mãn BC=AD, CA=BD và AB=CD. Giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoai tiếp tứ diện ABCD bằng

Câu hỏi:
Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với \(A\left( m;0;0 \right), B\left( 0;m-1;0 \right); C\left( 0;0;m+4 \right)\) thỏa mãn BC=AD, CA=BD và AB=CD. Giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoai tiếp tứ diện ABCD bằng
- A. \(\frac{{\sqrt 7 }}{2}\)
- B. \(\frac{{\sqrt {14} }}{2}\)
- C. \(\sqrt 7 \)
- D. \(\sqrt {14} \)
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: B

Đặt BC=a; CA=b; AB=c.

Gọi M, N lần lượt là trrung điểm của AB và CD.

Theo giả thiết ta có tam giác \(\Delta ABC=\Delta CDA\left( c.c.c \right)\Rightarrow CM=DM\) hay tam giác CMD cân tại M \(\Rightarrow MN\bot CD\)

Chứng minh tương tự ta cũng có \(MN\bot AB\)

Gọi I là trung điểm của MN thì IA=IB và IC=ID.

Mặt khác ta lại có AB=CD nên \(\Delta BMI=\Delta CNI\Rightarrow IB=IC\) hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Ta có \(I{{A}^{2}}=I{{M}^{2}}+A{{M}^{2}}=\frac{M{{N}^{2}}}{4}+\frac{A{{B}^{2}}}{4}=\frac{M{{N}^{2}}+{{c}^{2}}}{4}\)

Mặt khác CM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên \(C{{M}^{2}}=\frac{2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{4}\)

\(\Rightarrow M{{N}^{2}}=C{{I}^{2}}-C{{N}^{2}}=\frac{2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{4}-\frac{{{c}^{2}}}{4}=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2}\).

Vậy \(I{{A}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{8}\).

Với \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=2{{m}^{2}}+2{{\left( m-1 \right)}^{2}}+2{{\left( m+4 \right)}^{2}}=6{{\left( m+1 \right)}^{2}}+28\)

Vậy \(I{{A}^{2}}=\frac{6{{\left( m+1 \right)}^{2}}+28}{8}\ge \frac{7}{2}\Rightarrow I{{A}_{\min }}=\sqrt{\frac{7}{2}}=\frac{\sqrt{14}}{2}\).

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi HOC247 cung cấp đáp án và lời giải

ADSENSE