Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng \(BC:\,\,x + 7y - 13 = 0\). Các chân đường cao kẻ từ B, C lần lượt là \(E\left( {2;5} \right);\,\,F\left( {0;4} \right)\). Biết tọa độ đỉnh A là \(A\left( {a;b} \right)\). Khi đó:

Ta có \(\angle BFC = \angle BEC = {90^0} \Rightarrow \) Tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn đường kính BC.

Gọi I là trung điểm của BC \( \Rightarrow IE = IF \Leftrightarrow I{E^2} = I{F^2}\).

Gọi \(I\left( {13 - 7t;t} \right) \in BC\) ta có:

\(\begin{array}{l}I{E^2} = I{F^2} \Leftrightarrow {\left( {11 - 7t} \right)^2} + {\left( {t - 5} \right)^2} = {\left( {13 - 7t} \right)^2} + {\left( {t - 4} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 121 - 154t - 10t + 25 = 169 - 182t - 8t + 16\\ \Leftrightarrow 26t = 39 \Leftrightarrow t = \dfrac{3}{2} \Rightarrow I\left( {\dfrac{5}{2};\dfrac{3}{2}} \right)\end{array}\)

Gọi \(B\left( {13 - 7m;m} \right) \in BC\). Vì I là trung điểm của BC \( \Rightarrow C\left( {7m - 8;3 - m} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {BE}  = \left( {7m - 11;5 - m} \right);\,\,\overrightarrow {CE}  = \left( {10 - 7m;2 + m} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {BE} .\overrightarrow {CE}  = 0 \Leftrightarrow \left( {7m - 11} \right)\left( {10 - 7m} \right) + \left( {5 - m} \right)\left( {2 + m} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow  - 50{m^2} + 150m - 100 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2\end{array} \right.\)

TH1: \(m = 1 \Rightarrow B\left( {6;1} \right);\,\,C\left( { - 1;2} \right)\)

Khi đó ta có:

\(\overrightarrow {BE}  = \left( { - 4;4} \right)//\left( { - 1;1} \right) \Rightarrow \) Phương trình AC: \( - 1\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow  - x + y - 3 = 0\).

\(\overrightarrow {CF}  = \left( {1;2} \right) \Rightarrow \) Phương trình AB: \(1\left( {x - 0} \right) + 2\left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 8 = 0\).

Vì \(A = AB \cap AC \Rightarrow A\left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{{11}}{3}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{2}{3}\\b = \dfrac{{11}}{3}\end{array} \right.\,\,\left( {ktm} \right)\).

TH2: \(m = 2 \Rightarrow B\left( { - 1;2} \right);\,\,\,C\left( {6;1} \right)\).

Khi đó ta có:

\(\overrightarrow {BE}  = \left( {3;3} \right)//\left( {1;1} \right) \Rightarrow \) Phương trình AC: \(1\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 7 = 0\).

\(\overrightarrow {CF}  = \left( { - 6;3} \right)//\left( { - 2;1} \right) \Rightarrow \) Phương trình AB: \( - 2\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow  - 2x + y - 4 = 0\).

Vì \(A = AB \cap AC \Rightarrow A\left( {1;6} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 6\end{array} \right. \Rightarrow b - a = 6 - 1 = 5\).

Chọn D.