Tìm m để phương trình (2+sqrt3)^x+(2-sqrt3)^x=m có nghiệm

\({\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} + {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = m\,(1)\)

Đặt \(t = {(2 + \sqrt 3 )^x},t > 0\)  

Phương trình đã cho trở thành: \({t^2} - mt + 1 = 0\,(2)\) 

(1) có nghiệm khi (2) có nghiệm dương.

Giả sử (2) có 2 nghiệm \({t_{1,}}{t_2}\) (\({t_{1}}\) và \({t_{2}}\) có thể bằng nhau)

Áp dụng định lý Vi-et với (2) ta có: \({t_1}.{t_2} = 1 > 0\)

Nên suy ra để (1) có nghiệm thì (2) phải có 2 nghiệm dương.

Điều này xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l} {t_1} + {t_2} = m > 0\\ \Delta = {m^2} - 4 \ge 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 2.\)