Tìm m để phương trình 2^(cos^2(x))+2^(1+sin^2(x))=m có nghiệm

Ta có \({2^{{{\cos }^2}x}} + {2^{1 + {{\sin }^2}x}} = m \Leftrightarrow {2^{{{\cos }^2}x}} + {2^{2 - {{\cos }^2}x}} = m\)
Đặt \(t = {2^{{{\cos }^2}x}} \Rightarrow 2 \ge {2^{{{\cos }^2}x}} \ge 1\,\,(Do\,0 \le t \le 1)\)
Khi đó bất phương trình trở thành: \(t + \frac{2}{t} = m\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = t + \frac{4}{t}\) với \(t \in \left[ {2;1} \right]\)

Ta có: \(f'\left( t \right) = 1 - \frac{4}{{{t^2}}} = \frac{{{t^2} - 4}}{{{t^2}}} \le 0\left( {\forall t \in \left[ {2;1} \right]} \right)\)

Do đó: \(f\left( t \right) \in \left[ {f\left( 2 \right);f\left( 1 \right)} \right] = \left[ {4;5} \right]\)

Vậy phương trình có nghiệm khi \(m \in \left[ {4;5} \right]\)