Cho hàm số f(x)=x.{log _x}2 với x > 0 xe 1 có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thỏa mãn bất phương trình f'(x)<=0

Ta có  \(f\left( x \right) = x.{\log _x}2 = x.\frac{{\ln 2}}{{\ln x}} = \ln 2.\frac{x}{{\ln x}} \Rightarrow f'\left( x \right) = \ln 2\left( {\frac{{\ln x - 1}}{{{{\ln }^2}x}}} \right)\)

Với điều kiện \(x > 0;x \ne 1\) ta có:

Bất phương trình \(f'\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow \ln 2.\left( {\frac{{\ln x - 1}}{{{{\ln }^2}x}}} \right) \le 0 \Leftrightarrow \ln x \le 1 \Leftrightarrow 0 < x \le e\) 

Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm là \(S = \left( {0;e} \right]\backslash \left\{ 1 \right\}.\) 

Do đó bất phương trình có duy nhất một nghiệm nguyên là x=2.