Tìm giá trị của a để hàm số y=ax+sqrt(4x^2+1) có tiệm cận ngang

Yêu cầu bài toán tương đương với:

Tìm a để: \(\left[ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {ax + \sqrt {4{x^2} + 1} } \right) = c\,\,(1)\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {ax + \sqrt {4{x^2} + 1} } \right) = c\,\,(2) \end{array} \right.\) với c là hằng số.

Giải sử 1 đúng thì ta suy ra: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{ax + \sqrt {4{x^2} + 1} }}{x}} \right) = 0\,\,(3)\)

Mặt khác: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ax}}{x} = a;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 1} }}{x} = 2\)

Vậy VT(3) bằng a+2 suy ra a=-2.

Tương tự (2) đúng suy ra a=2.

Thử lại với \(a=\pm 2\)​ đồ thị hàm số có tiệm cận ngang.