-
Câu hỏi:
a. Rút gọn biểu thức \(B = \frac{{\cos x + \cos 3x + \cos 5x + \cos 7x}}{{\sin x + \sin 3x + \sin 5x + \sin 7x}}\).
b. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
\(C = {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + {\sin ^2}\left( {\frac{{5\pi }}{3} + x} \right) + {\sin ^2}\left( {\frac{{5\pi }}{3} - x} \right) - 4\tan \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right).\tan \left( {x + \frac{{7\pi }}{6}} \right)\)
Lời giải tham khảo:
a. \(B = \frac{{\cos x + \cos 3x + \cos 5x + \cos 7x}}{{\sin x + \sin 3x + \sin 5x + \sin 7x}}\)
\(\begin{array}{l}
= \frac{{(\cos x + \cos 7x) + (\cos 3x + \cos 5x)}}{{(\sin x + \sin 7x) + (\sin 3x + \sin 5x)}} = \frac{{2\cos 4x\cos 3x + 2\cos 4x\cos x}}{{2\sin 4x\cos 3x + 2\sin 4x\cos x}} = \\
= \frac{{\cos 4x}}{{\sin 5x}} = \cot 4x
\end{array}\)b. Ta có : \(\tan \left( {x + \frac{{7\pi }}{6}} \right) = \tan \left( {x - \frac{\pi }{3} + \frac{{3\pi }}{2}} \right) = - \cot \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\)
Do đó : \(\tan \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right).\tan \left( {x + \frac{{7\pi }}{6}} \right) = - 1\)
\(\begin{array}{l}
{\sin ^2}x + {\sin ^2}\left( {\frac{{5\pi }}{3} + x} \right) + {\sin ^2}\left( {\frac{{5\pi }}{3} - x} \right) = \\
= \frac{{1 - \cos 2x}}{2} + \frac{{1 - \cos (10\pi /3 + 2x)}}{2} + \frac{{1 - \cos (10\pi /3 - 2x)}}{2} = \\
= \frac{3}{2} - \frac{{\cos 2x + 2\cos (10\pi /3)\cos 2x}}{2} = \frac{3}{2}
\end{array}\)Suy ra \(C = \frac{3}{2} + 4 = \frac{9}{2}\)
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng
CÂU HỎI KHÁC
- Tính các giá trị \(\cos \alpha ,\tan \alpha ,\cot \alpha \) biết \(\sin \alpha = \frac{4}{5}\) và \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\)
- Chứng minh \(\cos \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) + \cos \left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = - \cos x\).
- Rút gọn biểu thức \(B = \frac{{\cos x + \cos 3x + \cos 5x + \cos 7x}}{{\sin x + \sin 3x + \sin 5x + \sin 7x}}\)
- Chứng minh tam giác ABC cân biết tam giác ABC thỏa \(\frac{{{{\sin }^2}A}}{{\cos A}} + \frac{{{{\sin }^2}C}}{{\cos C}} = (\sin A + \sin C)\cot \frac{B}{2}\).