-
Câu hỏi:
Cho tam giác ABC thỏa mãn \(\frac{{{{\sin }^2}A}}{{\cos A}} + \frac{{{{\sin }^2}C}}{{\cos C}} = (\sin A + \sin C)\cot \frac{B}{2}\).
Chứng minh tam giác ABC cân.
Lời giải tham khảo:
Ta có : \(\frac{{{{\sin }^2}A}}{{\cos A}} + \frac{{{{\sin }^2}B}}{{\cos B}} = (\sin A + \sin B)\cot \frac{C}{2}\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \sin A\tan A + \sin B\tan B = \sin A.\tan \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) + \sin B.\tan \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)\\
\Leftrightarrow \sin A\left( {\tan A - \tan \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)} \right) + \sin B\left( {\tan B - \tan \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \sin A\frac{{\sin \left( {\frac{{A - B}}{2}} \right)}}{{\cos A\cos \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)}} + \sin B\frac{{\sin \left( {\frac{{B - A}}{2}} \right)}}{{\cos B\cos \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)}} = 0\\
\Leftrightarrow \tan A\sin \left( {\frac{{A - B}}{2}} \right) - \tan B\sin \left( {\frac{{A - B}}{2}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan A = \tan B\\
\sin \left( {\frac{{A - B}}{2}} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow A = B
\end{array}\)Vậy tam giác ABC cân tại C.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng
CÂU HỎI KHÁC
- Tính các giá trị \(\cos \alpha ,\tan \alpha ,\cot \alpha \) biết \(\sin \alpha = \frac{4}{5}\) và \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\)
- Chứng minh \(\cos \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) + \cos \left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = - \cos x\).
- Rút gọn biểu thức \(B = \frac{{\cos x + \cos 3x + \cos 5x + \cos 7x}}{{\sin x + \sin 3x + \sin 5x + \sin 7x}}\)
- Chứng minh tam giác ABC cân biết tam giác ABC thỏa \(\frac{{{{\sin }^2}A}}{{\cos A}} + \frac{{{{\sin }^2}C}}{{\cos C}} = (\sin A + \sin C)\cot \frac{B}{2}\).