Phân tích vectơ $\overrightarrow {NM} ,\overrightarrow {MP}$ theo 2 vectơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC}$ biết M, N, P là các điểm định bởi $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \,;\,\,\overrightarrow {NB} = 2\overrightarrow {AN} \,;\,\,\overrightarrow {BP} = 2\overrightarrow {BC}$

a. Ta có:  $\overrightarrow {IJ}  = \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {{\rm{A}}J}  =  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$

           $\overrightarrow {JK}  = \overrightarrow {JC}  + \overrightarrow {{\rm{CK}}}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BC}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}  + (\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} ) = \frac{3}{2}\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB}$

b. Ta có:  $\frac{3}{2}\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB}  = 3\left( { - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right)$           

Từ câu a, suy ra $\overrightarrow {JK}  = 3\overrightarrow {IJ}$

Vậy  I, J, K thẳng hàng (đpcm)

c. Gọi P là trung điểm BC, E thuộc đoạn BP sao cho BE = 6EP.

Ta có:  $\overrightarrow {HE}  = \overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {BE}  = \overrightarrow {HB}  + \frac{3}{7}\overrightarrow {BC}  = \frac{3}{7}\overrightarrow {HC}  + \frac{4}{7}\overrightarrow {HB}  = \frac{1}{7}\overrightarrow {HL}$

 Suy ra H, E, L thẳng hàng. Hay HL đi qua E cố định.