Phân tích vectơ \(\overrightarrow {AN} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,{\rm{ }}\overrightarrow {AC} .\) biết tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 3

1) a) \(\overrightarrow {AN} {\rm{  =  }}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BN} {\rm{  =  }}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} {\rm{  +  }}\frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)

b) Đặt \(AP = x,\left( {0 < x < 3} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {PM} {\rm{  =  }}\overrightarrow {PA}  + \overrightarrow {AM} {\rm{ }} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} {\rm{  -  }}\frac{x}{3}\overrightarrow {AB} \)

\(\begin{array}{l}
AN \bot {\rm{ }}PM \Leftrightarrow \overrightarrow {AN} .\overrightarrow {PM}  = 0 \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right).\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AC}  - \frac{x}{3}\overrightarrow {AB} } \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \frac{2}{9}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  - \frac{{2x}}{9}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{x}{9}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} {\rm{ }} + \frac{1}{9}{\overrightarrow {AC} ^2}{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }}\\
 \Leftrightarrow 1 - 2x - \frac{x}{2} + 1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow x = \frac{4}{5}{\rm{ }}
\end{array}\)

Vậy \(\frac{{AP}}{{AB}} = \frac{4}{{15}}.\)

2)

Do ABCD là hình thang cân nên ABCD là hình thang nội tiếp đường tròn tâm O. Do \(AB = BC = CD \Rightarrow AC\) là đường phân giác trong góc \(\angle BAD\). Gọi E là điểm đối xứng của B qua AC, khi đó E thuộc AD. Ta có \(BE \bot AC\) và BE qua B(1;1) nên phương trình BE: \(3x + y - 4 = 0\).

Gọi \(F = AC \cap BE \Rightarrow \) tọa độ F là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x - 3y - 3 = 0}\\
{3x + y - 4 = 0}
\end{array}} \right. \Rightarrow F\left( {\frac{3}{2}; - \frac{1}{2}} \right).\)

Do F là trung điểm của \(BE \Rightarrow E\left( {2; - 2} \right).\) Do \(M\left( { - 2; - 5} \right) \in AD \Rightarrow \) phương trình AD: \(3x - 4y - 14 = 0.\)

Do \(A = AD \cap AC \Rightarrow \) tọa độ A là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}
x - 3y - 3 = 0\\
3x - 4y - 14 = 0
\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {6;1} \right).\)

Do \(D \in AD \Rightarrow D\left( {2 + 4t; - 2 + 3t} \right)\) và \(AD = 7 \Rightarrow {\left( {4t - 4} \right)^2} + {\left( {3t - 3} \right)^2} = 49 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = \frac{{12}}{5}\\
t = \frac{{ - 2}}{5}
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
D\left( {\frac{{58}}{5};\frac{{26}}{5}} \right)\\
D\left( {\frac{2}{5}; - \frac{{16}}{5}} \right)
\end{array} \right.\)

Do B, D nằm khác phía với đường thẳng AC nên kiểm tra vị trí tương đối của điểm B và hai điểm D ta có đáp số \(D\left( {\frac{2}{5}; - \frac{{16}}{5}} \right)\)