Mặt phẳng \(\left( {MND'} \right)\) chia khối lập phương thành hai khối đa diện, trong đó khối chứa điểm \(C\) gọi là \(\left( H \right)\). Tính thể tích khối \(\left( H \right)\).

Gọi \(G = D'N \cap B'C'\), \(GM\) cắt \(BB',CC'\) lần lượt tại \(I,H\), \(HD' \cap DC = J\).

Do đó thiết diện là ngũ giác \(MJD'NI\).

Thể tích khối đa diện cần tính

\({V_{\left( H \right)}} = {V_{CMJINB'CD'}} = {V_{H.GD'C'}} - {V_{H.MCJ}} - {V_{GB'IN}}\).

Vì \(NB'//C'D'\) nên \(\dfrac{{GB'}}{{GC'}} = \dfrac{{NB'}}{{C'D'}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow GC' = 2B'C' = 2a\).

Lại có \(MB//GB' \Rightarrow \dfrac{{MB}}{{GB'}} = \dfrac{{BI}}{{IB'}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow IB' = \dfrac{2}{3}a,IB = \dfrac{a}{3}\).

Tam giác \(\Delta MIB = \Delta MHC \Rightarrow HC = IB = \dfrac{a}{3}\). Mà \(JC//D'C' \Rightarrow \dfrac{{JC}}{{D'C'}} = \dfrac{{HC}}{{HC'}} = \dfrac{{\dfrac{a}{3}}}{{\dfrac{a}{3} + a}} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow JC = \dfrac{a}{4}\).

Thể tích \({V_{H.GD'C'}} = \dfrac{1}{3}{S_{GD'C'}}.HC' = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}C'D'.C'G.HC' = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}a.2a.\dfrac{4}{3}a = \dfrac{4}{9}{a^3}\).

Thể tích \({V_{H.CJM}} = \dfrac{1}{3}{S_{CMJ}}.HC = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{4}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{3} = \dfrac{{{a^3}}}{{144}}\).

Thể tích \({V_{I.GB'N}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.B'G.B'N.IB' = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.a.\dfrac{a}{2}.\dfrac{2}{3}a = \dfrac{{{a^3}}}{{18}}\).

Vậy thể tích khối đa diện \(\left( H \right)\) là: \(\dfrac{4}{9}{a^3} - \dfrac{{{a^3}}}{{144}} - \dfrac{{{a^3}}}{{18}} = \dfrac{{55{a^3}}}{{144}}\).

Chọn B.