Gọi \(S\) là tập các giá trị nguyên để hệ \(\left( 1 \right)\) có một nghiệm duy nhất. Tập S có bao nhiêu phần tử?

ĐK : \(1 - {y^2} \ge 0 \Leftrightarrow y \in \left[ { - 1;1} \right]\)

+ Xét phương trình \({2^{x - y}} - {2^y} + x = 2y \Leftrightarrow {2^{x - y}} + x - y = {2^y} + y\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t} + t \Rightarrow f'\left( t \right) = {2^t}.\ln 2 + 1 > 0;\,\forall t\)  nên hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Từ đó \({2^{x - y}} + x - y = {2^y} + y\)\( \Rightarrow f\left( {x - y} \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow x - y = y \Leftrightarrow x = 2y\)

+ Thay \(x = 2y\) vào phương trình \({2^x} + 1 = \left( {{m^2} + 2} \right){.2^y}.\sqrt {1 - {y^2}} \)  ta được

\({2^{2y}} + 1 = \left( {{m^2} + 2} \right){.2^y}.\sqrt {1 - {y^2}}  \Leftrightarrow {4^y} + 1 = \left( {{m^2} + 2} \right){.2^y}.\sqrt {1 - {y^2}} \) (*)

Để hệ phương trình (1) có một nghiệm duy nhất thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất \(y \in \left[ { - 1;1} \right]\)

Giả sử \({y_0} \in \left[ { - 1;1} \right]\)  là một nghiệm của phương trình (*) thì  ta có \({4^{{y_0}}} + 1 = \left( {{m^2} + 2} \right){.2^{{y_0}}}.\sqrt {1 - {y_0}^2} \)  (**)

Xét với \( - {y_0}\) ta có  \({4^{ - {y_0}}} + 1 = \left( {{m^2} + 2} \right){.2^{ - {y_0}}}.\sqrt {1 - {{\left( { - {y_0}} \right)}^2}}  \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{4^{{y_0}}}}} + 1 = \left( {{m^2} + 2} \right)\dfrac{1}{{{2^{{y_0}}}}}\sqrt {1 - y_0^2} \)

\( \Leftrightarrow 1 + {4^{{y_0}}} = \left( {{m^2} + 2} \right){.2^{{y_0}}}.\sqrt {1 - {y_0}^2} \) (đúng do (**)) hay \( - {y_0}\) cũng là nghiệm của phương trình (*).

Do vậy để (*) có nghiệm duy nhất thì \({y_0} =  - {y_0} \Leftrightarrow {y_0} = 0\). Thay \(y = 0\) vào (*) ta được \({4^0} + 1 = \left( {{m^2} + 2} \right){.2^0}\sqrt {1 - {0^2}}  \Leftrightarrow {m^2} + 2 = 2 \Leftrightarrow m = 0.\)

Thử lại : Thay \(m = 0\) vào (*) ta được \({4^y} + 1 = {2.2^y}\sqrt {1 - {y^2}}  \Leftrightarrow {2^y} + \dfrac{1}{{{2^y}}} = 2\sqrt {1 - {y^2}} \,(***)\)

Nhận thấy rằng VT(***)\( = {2^y} + \dfrac{1}{{{2^y}}}\mathop  \ge \limits^{C\^o  - si} 2\sqrt {{2^y}.\dfrac{1}{{{2^y}}}}  \Leftrightarrow VT\left( {***} \right) \ge 2\) , dấu  xảy ra \( \Leftrightarrow {2^y} = \dfrac{1}{{{2^y}}} \Leftrightarrow y = 0\)

Và \(VP\left( {***} \right) = 2\sqrt {1 - {y^2}}  \le 2 \Leftrightarrow VP\left( {***} \right) = 2 \Leftrightarrow y = 0\)

Vậy phương trình (***) có nghiệm duy nhất \(y = 0\).

Kết luận : Với \(m = 0\) thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất nên tập S có một phần tử.

Chọn B.