Cho hình thang \(ABCD\) có \(\angle A = \angle B = {90^0},AB = BC = a,\,AD = 2a.\) Tính thể tích khối nón tròn xoay sinh ra khi quay quanh hình thang \(ABCD\) xung quanh trục \(CD\)

Gọi \(A',\,\,B'\) lần lượt các các điểm đối xúng A, B qua CD. H là trung điểm của BB’, ta dễ dàng chứng minh được C là trung điểm của AA’.

Gọi \({V_1}\) là thể tích khối nón có chiều cao CD, bán kính đáy AC.

\({V_2}\) là thể tích khối nón cụt có chiều cao CH, bán kính đáy nhỏ BH, bán kính đáy lớn AC.

\({V_3}\) là thể tích khối nón có chiều cao CH, bán kính đáy BH.

Kẻ \(CK \bot AD\) suy ra \(ABCK\) là hình vuông \( \Rightarrow CK = KD = a\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông CKD ta có :

\(CD = \sqrt {C{K^2} + K{D^2}}  = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2 \).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABC ta có :

\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2 \).

Tam giác CKD vuông cân tại K \( \Rightarrow \angle KDC = {45^o} \Rightarrow \angle BCH = {45^0} \Rightarrow \Delta BCH\) vuông cân tại H.

\( \Rightarrow BH = CH = \frac{{BC}}{{\sqrt 2 }} = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {V_1} = \frac{1}{3}\pi .A{C^2}.CD = \frac{1}{3}\pi {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}a\sqrt 2  = \frac{{2\sqrt 2 \pi {a^3}}}{3}\\\,\,\,\,\,{V_2} = \frac{1}{3}\pi .CH\left( {B{H^2} + A{C^2} + BH.AC} \right) = \frac{1}{3}\pi .\frac{a}{{\sqrt 2 }}\left( {\frac{{{a^2}}}{2} + 2{a^2} + \frac{a}{{\sqrt 2 }}.a\sqrt 2 } \right) = \frac{{7\sqrt 2 \pi {a^2}}}{{12}}\\\,\,\,\,\,{V_3} = \frac{1}{3}\pi .B{H^2}.CH = \frac{1}{3}\pi .\frac{{{a^2}}}{2}.\frac{a}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\pi \sqrt 2 {a^3}}}{{12}}\end{array}\)

Vậy thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình thang ABCD quanh trục CD là :

\(V = {V_1} + {V_2} - {V_3} = \frac{{2\sqrt 2 \pi {a^3}}}{3} + \frac{{7\sqrt 2 \pi {a^2}}}{{12}} - \frac{{\sqrt 2 \pi {a^2}}}{{12}} = \frac{{7\sqrt 2 \pi {a^3}}}{6}\).

Chọn C.