Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m để phương trình \(m + \cos x\sqrt {{{\cos }^2}x + 2} + 2\cos x + \left( {\cos x + m} \right)\sqrt {{{\left( {\cos x + m} \right)}^2} + 2} = 0\) có nghiệm thực ?

\(\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow \cos x + \cos x\sqrt {{{\cos }^2}x + 2} \\
 + \left( {\cos x + m} \right) + \left( {\cos x + m} \right)\sqrt {{{\left( {\cos x + m} \right)}^2} + 2}  = 0
\end{array}\)

Đặt \(t = \cos x + m\). PT trở thành:

\(\begin{array}{l}
\cos x + \cos x\sqrt {{{\cos }^2}x + 2}  + t + t\sqrt {{t^2} + 2}  = 0\\
 \Leftrightarrow \cos x + \cos x\sqrt {{{\cos }^2}x + 2}  = \left( { - t} \right) + \left( { - t} \right)\sqrt {{{\left( { - t} \right)}^2} + 2} \,(*)
\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( u \right) = u + u\sqrt {{u^2} + 2} \), với \(u \in R\)

Ta có:

\(f'\left( u \right) = 1 + \frac{{{u^2}}}{{\sqrt {{u^2} + 2} }} > 0,\forall u \in R\)

Nên \(f(u)\) là hàm số đồng biến trên R.

Do đó \((*)\) có dạng:

\(\begin{array}{l}
f\left( {\cos x} \right) = f\left( { - t} \right)\\
 \Leftrightarrow \cos x =  - t \Leftrightarrow t =  - \cos x
\end{array}\)

Với \(t =  - \cos x\) ta được:

\(\begin{array}{l}
\cos x + m =  - \cos x\\
 \Leftrightarrow m =  - 2\cos x\,\,\left( {**} \right)
\end{array}\) 

PT (1) có nghiệm thực \(\Leftrightarrow\) \((**)\) có nghiệm thực

Khi đó điều kiện của m là: \( - 2 \le m \le 2\)

Vì \(m \in Z\) nên \(m \in \left\{ { \pm 2; \pm 1;0} \right\}\)

Vậy có 5 giá trị nguyên của m.