Chứng minh rằng phương trình ${x^5} - 3{{\rm{x}}^4} + 5{\rm{x}} - 2 = 0$ có ít nhất ba nghiệm phân biệt.

Xét hàm số $f(x) = {x^5} - 3{{\rm{x}}^4} + 5{\rm{x}} - 2 \Rightarrow f$ liên tục trên R.

Ta có: $f(0) =  - 2,\,\,f(1) = 1,\,\,f(2) =  - 8,\,\,\,f(4) = 16$

$\Rightarrow f(0).f(1) < 0 \Rightarrow PT\,\,\,f\left( x \right) = 0$ có ít nhất 1 nghiệm ${c_1} \in (0;1)$

$f(1).f(2) < 0 \Rightarrow PT\,\,\,f\left( x \right) = 0$ có ít nhất 1 nghiệm ${c_2} \in (1;2)$

$f(2).f(4) < 0 \Rightarrow PT\,\,\,f\left( x \right) = 0$ có ít nhất 1 nghiệm ${c_3} \in (2;4)$

$\Rightarrow PT\,\,\,f\left( x \right) = 0$ có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng (–2; 5).