Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a tâm O, \(SA \bot (ABCD)\) và \(SA = a\sqrt 6 \) .

a) Chứng minh: \(BD \bot SC,(SBD) \bot (SAC)\).

ABCD là hình vuông nên \(BD\bot AC, BD\bot SA (SA\bot (ABCD)) \Rightarrow BD\bot (SAC) \Rightarrow BD\bot SC\)

(SBD) chứa \(BD\bot (SAC)\) nên \((SBD)\bot (SAC)\)

b) Trong \(\Delta SAO\) hạ \(AH\bot SO, AH\bot BD (BD\bot (SAC))\) nên \(AH\bot (SBD)\)

\(AO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2},SO = a\sqrt 6 \left( {gt} \right)\) và \(\Delta SAO\) vuông tại A

nên  \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{O^2}}} = \frac{1}{{6{a^2}}} + \frac{2}{{{a^2}}} = \frac{{13}}{{6{a^2}}}\)

\( \Rightarrow A{H^2} = \frac{{6{a^2}}}{{13}} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt {78} }}{{13}}\)

c) Dế thấy do \(SA\bot (ABCD)\) nên hình chiếu của SC trên (ABCD) là AC suy ra góc giữa SC và (ABCD) là \(\widehat {SCA}\). Vậy ta có:

                        \(\tan \,\widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{{a\sqrt 2 }} = \sqrt 3  \Rightarrow \,\widehat {SCA} = {60^0}\)

d) Gọi M là trung điểm của AB.

\({d_{SO;BC}} = {d_{BC;\left( {SOM} \right)}} = {d_{B;\left( {SOM} \right)}} = {d_{A;\left( {SOM} \right)}} = AK = \frac{{AM.SA}}{{\sqrt {A{M^2} + S{A^2}} }} = \frac{{\sqrt 6 }}{5}a\)