Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a tâm O, $SA \bot (ABCD)$ và $SA = a\sqrt 6$ .

a) Chứng minh: $BD \bot SC,(SBD) \bot (SAC)$.

ABCD là hình vuông nên $BD\bot AC, BD\bot SA (SA\bot (ABCD)) \Rightarrow BD\bot (SAC) \Rightarrow BD\bot SC$

(SBD) chứa $BD\bot (SAC)$ nên $(SBD)\bot (SAC)$

b) Trong $\Delta SAO$ hạ $AH\bot SO, AH\bot BD (BD\bot (SAC))$ nên $AH\bot (SBD)$

$AO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2},SO = a\sqrt 6 \left( {gt} \right)$ và $\Delta SAO$ vuông tại A

nên  $\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{O^2}}} = \frac{1}{{6{a^2}}} + \frac{2}{{{a^2}}} = \frac{{13}}{{6{a^2}}}$

$\Rightarrow A{H^2} = \frac{{6{a^2}}}{{13}} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt {78} }}{{13}}$

c) Dế thấy do $SA\bot (ABCD)$ nên hình chiếu của SC trên (ABCD) là AC suy ra góc giữa SC và (ABCD) là $\widehat {SCA}$. Vậy ta có:

                        $\tan \,\widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{{a\sqrt 2 }} = \sqrt 3  \Rightarrow \,\widehat {SCA} = {60^0}$

d) Gọi M là trung điểm của AB.

${d_{SO;BC}} = {d_{BC;\left( {SOM} \right)}} = {d_{B;\left( {SOM} \right)}} = {d_{A;\left( {SOM} \right)}} = AK = \frac{{AM.SA}}{{\sqrt {A{M^2} + S{A^2}} }} = \frac{{\sqrt 6 }}{5}a$