Chứng minh rẳng dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn biết dãy số $({u_n})_{n = 1}^{ + \infty }$ bị chặn trên và thoả mãn điều kiện ${u_{n + 2}} \ge \,\,\,\frac{2}{5}.{u_{n + 1}} + \,\,\frac{3}{5}.{u_n},$

Ta có ${u_{n + 2}} \ge \frac{2}{5}{u_{n + 1}} + \frac{3}{5}{u_n} \Leftrightarrow {u_{n + 2}} + \frac{3}{5}{u_{n + 1}} \ge {u_{n + 1}} + \frac{3}{5}{u_n},\,\,\,\,\forall n = 1,2,3,...$  (1)

Đặt ${v_n} = {u_{n + 1}} + \frac{3}{5}{u_n},\,\,\,\,\forall n = 1,2,3,...$ thì từ (1) ta có ${v_{n + 1}} \ge {v_n},\,\,\,\,\forall n = 1,2,3,...$                         (2)

Vì dãy số $({u_n})_{n = 1}^{ + \infty }$ bị chặn trên nên tồn tại số M sao cho ${u_n} \le M,\,\,\,\,\forall n = 1,2,3,...$ suy ra

                             ${v_n} \le M + \frac{3}{5}M = \frac{8}{5}M,\,\,\forall n = 1,2,3,...$                              (3)

Từ (2) và (3) ta thấy dãy $(v_n)$ không giảm và bị chặn trên. Do đó, nó là dãy hội tụ. 

Đặt $\lim {v_n} = a$ và $b = \frac{{5a}}{8}$. Ta sẽ chứng minh $\lim {u_n} = b.$

 Thật vậy, vì $\lim {v_n} = a$ nên $\forall \varepsilon  > 0$ nhỏ tùy ý, $\exists {n_0} \in {N^*}$ sao cho $\left| {{v_n} - a} \right| < \frac{\varepsilon }{5},$ $\forall n \ge {n_0}.$

Khi đó, nhờ có đánh giá

$\left| {{u_{n + 1}} - b} \right| - \frac{3}{5}\left| {{u_n} - b} \right| < \left| {({u_{n + 1}} - b) + \frac{3}{5}({u_n} - b)} \right| = \left| {{u_{n + 1}} + \frac{3}{5}{u_n} - \frac{{8b}}{5}} \right| < \frac{\varepsilon }{5},$

ta thu được

                                     $\left| {{u_{n + 1}} - b} \right| < \frac{3}{5}\left| {{u_n} - b} \right|\,\, + \frac{\varepsilon }{5},\,\,\,\,\forall n \ge {n_0}$

Từ sự kiện này ta suy ra

$\begin{array}{l} \left| {{u_{{n_0} + 1}} - b} \right| < \frac{3}{5}\left| {{u_{{n_0}}} - b} \right|\,\, + \frac{\varepsilon }{5};\\ \left| {{u_{{n_0} + 2}} - b} \right| < \frac{3}{5}\left| {{u_{{n_0} + 1}} - b} \right|\,\, + \varepsilon  < {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2}\left| {{u_{{u_0}}} - b} \right| + \frac{3}{5}.\frac{\varepsilon }{5} + \frac{\varepsilon }{5};\\ ......\\ \left| {{u_{{n_0} + k}} - b} \right| < {\left( {\frac{3}{5}} \right)^k}\left| {{u_{{u_0}}} - b} \right| + \frac{\varepsilon }{5}\left[ {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^{k - 1}} + {{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^{k - 2}} + .... + \frac{3}{5} + 1} \right]. \end{array}$

hay $\left| {{u_{{n_0} + k}} - b} \right| < {\left( {\frac{3}{5}} \right)^k}\left| {{u_{{u_0}}} - b} \right| + \frac{\varepsilon }{5}\frac{{1 - {{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^k}}}{{1 - \frac{3}{5}}} < {\left( {\frac{3}{5}} \right)^k}\left| {{u_{{n_0}}} - b} \right| + \frac{\varepsilon }{2}.$

Do đó $\left| {{u_{{n_0} + k}} - b} \right| < \varepsilon$ với k đủ lớn  tức là $\left| {{u_n} - b} \right| < \varepsilon$ với n đủ lớn và $\varepsilon  > 0$ nhỏ tuỳ ý. Vậy $\lim {u_n} = b$

Hay dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn (đpcm).