Chứng minh rẳng dãy \((u_n)\) có giới hạn hữu hạn biết dãy số \(({u_n})_{n = 1}^{ + \infty }\) bị chặn trên và thoả mãn điều kiện \({u_{n + 2}} \ge \,\,\,\frac{2}{5}.{u_{n + 1}} + \,\,\frac{3}{5}.{u_n},\)

Ta có \({u_{n + 2}} \ge \frac{2}{5}{u_{n + 1}} + \frac{3}{5}{u_n} \Leftrightarrow {u_{n + 2}} + \frac{3}{5}{u_{n + 1}} \ge {u_{n + 1}} + \frac{3}{5}{u_n},\,\,\,\,\forall n = 1,2,3,...\)  (1)

Đặt \({v_n} = {u_{n + 1}} + \frac{3}{5}{u_n},\,\,\,\,\forall n = 1,2,3,...\) thì từ (1) ta có \({v_{n + 1}} \ge {v_n},\,\,\,\,\forall n = 1,2,3,...\)                         (2)

Vì dãy số \(({u_n})_{n = 1}^{ + \infty }\) bị chặn trên nên tồn tại số M sao cho \({u_n} \le M,\,\,\,\,\forall n = 1,2,3,...\) suy ra

                             \({v_n} \le M + \frac{3}{5}M = \frac{8}{5}M,\,\,\forall n = 1,2,3,...\)                              (3)

Từ (2) và (3) ta thấy dãy \((v_n)\) không giảm và bị chặn trên. Do đó, nó là dãy hội tụ. 

Đặt \(\lim {v_n} = a\) và \(b = \frac{{5a}}{8}\). Ta sẽ chứng minh \(\lim {u_n} = b.\)

 Thật vậy, vì \(\lim {v_n} = a\) nên \(\forall \varepsilon  > 0\) nhỏ tùy ý, \(\exists {n_0} \in {N^*}\) sao cho \(\left| {{v_n} - a} \right| < \frac{\varepsilon }{5},\) \(\forall n \ge {n_0}.\)

Khi đó, nhờ có đánh giá

\(\left| {{u_{n + 1}} - b} \right| - \frac{3}{5}\left| {{u_n} - b} \right| < \left| {({u_{n + 1}} - b) + \frac{3}{5}({u_n} - b)} \right| = \left| {{u_{n + 1}} + \frac{3}{5}{u_n} - \frac{{8b}}{5}} \right| < \frac{\varepsilon }{5},\)

ta thu được

                                     \(\left| {{u_{n + 1}} - b} \right| < \frac{3}{5}\left| {{u_n} - b} \right|\,\, + \frac{\varepsilon }{5},\,\,\,\,\forall n \ge {n_0}\)

Từ sự kiện này ta suy ra

\(\begin{array}{l}
\left| {{u_{{n_0} + 1}} - b} \right| < \frac{3}{5}\left| {{u_{{n_0}}} - b} \right|\,\, + \frac{\varepsilon }{5};\\
\left| {{u_{{n_0} + 2}} - b} \right| < \frac{3}{5}\left| {{u_{{n_0} + 1}} - b} \right|\,\, + \varepsilon  < {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2}\left| {{u_{{u_0}}} - b} \right| + \frac{3}{5}.\frac{\varepsilon }{5} + \frac{\varepsilon }{5};\\
......\\
\left| {{u_{{n_0} + k}} - b} \right| < {\left( {\frac{3}{5}} \right)^k}\left| {{u_{{u_0}}} - b} \right| + \frac{\varepsilon }{5}\left[ {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^{k - 1}} + {{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^{k - 2}} + .... + \frac{3}{5} + 1} \right].
\end{array}\)

hay \(\left| {{u_{{n_0} + k}} - b} \right| < {\left( {\frac{3}{5}} \right)^k}\left| {{u_{{u_0}}} - b} \right| + \frac{\varepsilon }{5}\frac{{1 - {{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^k}}}{{1 - \frac{3}{5}}} < {\left( {\frac{3}{5}} \right)^k}\left| {{u_{{n_0}}} - b} \right| + \frac{\varepsilon }{2}.\)

Do đó \(\left| {{u_{{n_0} + k}} - b} \right| < \varepsilon \) với k đủ lớn  tức là \(\left| {{u_n} - b} \right| < \varepsilon \) với n đủ lớn và \(\varepsilon  > 0\) nhỏ tuỳ ý. Vậy \(\lim {u_n} = b\)

Hay dãy \((u_n)\) có giới hạn hữu hạn (đpcm).