Câu hỏi Tự luận (5 câu):
-
Câu 1: Mã câu hỏi: 111131
Cho dãy số \(({u_n})_{n = 1}^{ + \infty }\) bị chặn trên và thoả mãn điều kiện
\({u_{n + 2}} \ge \,\,\,\frac{2}{5}.{u_{n + 1}} + \,\,\frac{3}{5}.{u_n},\) \(\forall \,n = 1,\,\,2,\,\,3,...\)
Chứng minh rẳng dãy \((u_n)\) có giới hạn hữu hạn.
-
Câu 2: Mã câu hỏi: 111135
Cho \(\Delta ABC\) có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC, CA, AB ở D, E, F. Đường thẳng qua A song song BC cắt DE, DF lần lượt tại M, N. Đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN cắt đường tròn (I) tại điểm L khác D.
a) Chứng minh A, K, L thẳng hàng.
b) Tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN tại M, N cắt EF tại U, V. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác UVL tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN.
-
Câu 3: Mã câu hỏi: 112485
Tìm tất cả các đa thức \(P\left( x \right) \in Z\left[ x \right]\) sao cho với mọi số n nguyên dương, phương trình \(P\left( x \right) = {2^n}\) có nghiệm nguyên.
-
Câu 4: Mã câu hỏi: 112497
Cho p là số nguyên tố có dạng \(12k + 11\). Một tập con S của tập
\(M = \{ 1;\,\,2;\,\,3; \ldots ;\,\,p - 2;\,\,p - 1\} \)
được gọi là “tốt” nếu như tích của tất cả các phần tử của S không nhỏ hơn tích của tất cả các phần tử của M\S. Ký hiệu \({\Delta _S}\) hiệu của hai tích trên. Tìm giá trị nhỏ nhất của số dư khi chia \({\Delta _S}\) cho p xét trên mọi tập con tốt của M có chứa đúng \(\frac{{p - 1}}{2}\) phần tử.
-
Câu 5: Mã câu hỏi: 112505
Cho đa giác lồi n đỉnh \({A_0}{A_1}...{A_{n - 1}}\,\,\left( {n \ge 2} \right).\) Mỗi cạnh và đường chéo của đa giác được tô bởi một trong k màu sao cho không có hai đoạn thẳng nào cùng xuất phát từ một đỉnh cùng màu. Tìm giá trị nhỏ nhất của k.
