Cho p là số nguyên tố có dạng \(12k + 11\). Một tập con S của tập \(M = \{ 1;\,\,2;\,\,3; \ldots ;\,\,p - 2;\,\,p - 1\} \) được gọi là “tốt” nếu như tích của tất cả các phần tử của S không nhỏ hơn tích của tất cả các phần tử của M\S. Ký hiệu \({\Delta _S}\) hiệu của hai tích trên. Tìm giá trị nhỏ nhất của số dư khi chia \({\Delta _S}\) cho p xét trên mọi tập con tốt của M có chứa đúng \(\frac{{p - 1}}{2}\) phần tử.

Trước hết, xét tập con \(S = \left\{ {\frac{{p + 1}}{2},\frac{{p + 3}}{2}, \ldots ,p - 2,p - 1} \right\}\) thì rõ ràng S là tập con tốt và

\({\Delta _S} = {( - 1)^{\frac{{p - 1}}{2}}}\left( {\frac{{p - 1}}{2}} \right)! - \left( {\frac{{p - 1}}{2}} \right)! \equiv  - 2\left( {\frac{{p - 1}}{2}} \right)! = 2a{\rm{ }}(\bmod p)\)

trong đó \(a =  - \left( {\frac{{p - 1}}{2}} \right)!\) và thỏa mãn \(p|{a^2} - 1\) theo định lý Wilson.

Ta xét các trường hợp:

- Nếu \(a \equiv 1{\rm{ }}(\bmod p)\) thì \({\Delta _S} = 2{\rm{ }}(\bmod p)\).

- Nếu \(a \equiv  - 1{\rm{ }}(\bmod p)\) thì trong tập con S thay \(\frac{{p + 1}}{2}\) bởi \(\frac{{p - 1}}{2} \equiv  - \frac{{p + 1}}{2}(\bmod p)\) thì

dễ thấy dấu của \({\Delta _S}\) sẽ được thay đổi thành 2. Khi đó, trong cả hai trường hợp, ta đều chỉ ra được tập con tốt có \({\Delta _S} = 2{\rm{ }}(\bmod p)\).

Ta sẽ chứng minh rằng không tồn tại S tốt sao cho \({\Delta _S} = 1{\rm{ }}(\bmod p)\). Xét một tập con tốt  bất kỳ và gọi a, a' lần lượt là tích các phần tử của S, M\S. Theo định lý Wilson thì \(aa' = (p - 1)! \equiv  - 1{\rm{ }}(\bmod p)\).

Khi đó, nếu \(a \equiv a'{\rm{ }}(\bmod p)\) thì \(p|{a^2} + 1\), vô lý vì ta đã biết \({a^2} + 1\) không có ước nguyên tố dạng 4k + 3. Còn nếu \(a - a' \equiv 1{\rm{ }}(\bmod p)\) thì \({(2a - 1)^2} \equiv  - 3{\rm{ }}(\bmod p)\), cũng vô lý vì \(\left( {\frac{{ - 3}}{p}} \right) =  - 1\) do theo giả thiết thì \(p \equiv 11{\rm{ }}(\bmod 12).\)

Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là 2.