Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 4cm, BC = 5cm. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB.

GT: \(\Delta ABC\) vuông tại A, \(AC=4 cm, BC=5 cm, AD=AB\)

KL: a) Tính AB và BD; b) Cm m \(\Delta CBD\) cân; c) Chứng minh \(BC=DE\) và \(BC+BD>BE\); d) Cm \(BC=6GM\)

a) Tam giác ABC vuông tại A, có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) (đlý Pytago)

\(\begin{array}{l}
A{B^2} = B{C^2} - A{C^2}\\
A{B^2} = {5^2} - {4^2} = 9\\
 \Rightarrow AB = 3\left( {cm} \right)
\end{array}\)

Ta có \(BD=2AB=2.3=6\) (Vì \(AD=AB\))

b) ∆CBD có CA vừa là đường cao (\(\Delta ABC\) vuông tại A), vừa là đường trung tuyến (\(AB=DA\))

=> ∆CBD cân tại C

c) Chứng minh được ∆MBC = ∆MED (g.c.g) => BC = DE

+) Xét ∆BDE có DE + BD > BE (BĐT tam giác)

                       => BC + BD > BE (do BC = DE)

d) Ta có MB = ME (∆MBC = ∆MED); AB = AD (gt)

Do đó: ∆BDE có DM và EA là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G => G là trọng tâm ∆BDE

\( \Rightarrow GM = \frac{1}{3}DM = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}DC = \frac{1}{6}BC \Rightarrow BC = 6GM\)