Cho phương trình \({x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m - 2 = 0\) (với m là tham số). Tìm các số nguyên m để phương trình có nghiệm nguyên.

Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m.\)

Đề bài yêu cầu tìm \(m \in Z\) để \(x \in Z.\) Ta đưa bài toán về dạng tìm x nguyên để m nguyên.

Ta có: \({x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m - 2 = 0\)

\(\Leftrightarrow {x^2} - mx - x + m - 2 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = m\left( {x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow m = \dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 1}} = \dfrac{{x\left( {x - 1} \right) - 2}}{{x - 1}}\;\;\left( {x \ne 1} \right)\\ \Leftrightarrow m = x - \dfrac{2}{{x - 1}}.\\ \Rightarrow m \in Z \Leftrightarrow \left( {x - \dfrac{2}{{x - 1}}} \right) \in Z \\\Leftrightarrow \dfrac{2}{{x - 1}} \in Z\,\,\left( {Do\,\,x \in Z} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right) \in U\left( 2 \right).\end{array}\)

Mà \(U\left( 2 \right) = \left\{ { - 2;\; - 1;\;1;\;2} \right\}.\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 =  - 2\\x - 1 =  - 1\\x - 1 = 1\\x - 1 = 2\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 0\\x = 2\\x = 3\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right) \)

\(\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 2\\m = 0\\m = 2\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\;\;\left( {tm} \right)\\m = 2\;\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)

Vậy với \(m = 0\) và \(m = 2\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.