Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB.

a) Vì MA, MC là tiếp tuyến nên: \(\widehat {{\rm{MAO}}} = \widehat {{\rm{MCO}}} = {90^0} \Rightarrow \) AMCO là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MO.

\(\widehat {{\rm{ADB}}} = {90^0}\) góc nội tiếp chắn nửa đường  tròn) \( \Rightarrow \widehat {{\rm{ADM}}} = {90^0}\) (1)

Lại có: OA = OC = R; MA = MC (tính chất tiếp tuyến). Suy ra OM là đường trung trực của AC

\( \Rightarrow \widehat {{\rm{AEM}}} = {90^0}\) (2). 

Từ (1) và (2) suy ra MADE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MA.

b)  Tứ giác AMDE nội tiếp suy ra: \(\widehat {{\rm{ADE}}} = \widehat {{\rm{AME}}} = \widehat {{\rm{AMO}}}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung AE) (3)

Tứ giác AMCO nội tiếp suy ra: \(\widehat {{\rm{AMO}}} = \widehat {{\rm{ACO}}}\)(góc nội tiếp cùng chắn cung AO) (4).

Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat {{\rm{ADE}}} = \widehat {{\rm{ACO}}}\)

c) Tia BC cắt Ax tại N. Ta có \(\widehat {{\rm{ACB}}} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \widehat {{\rm{ACN}}} = {90^0}\), suy ra ∆ACN vuông tại C. Lại có MC = MA nên suy ra được MC = MN, do đó MA = MN (5).

Mặt khác ta có CH // NA (cùng vuông góc với AB) nên theo định lí Ta-lét thì \(\frac{{{\rm{IC}}}}{{{\rm{MN}}}} = \frac{{{\rm{IH}}}}{{{\rm{MA}}}}\left( { = \frac{{{\rm{BI}}}}{{{\rm{BM}}}}} \right)\) (6).

Từ (5) và (6) suy ra IC = IH hay MB đi qua trung điểm của CH.