Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R.

Câu a

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

  \(\widehat{\mathrm{DMO}}={{90}^{0}}\), mà \(\widehat{\mathrm{OBD}}={{90}^{0}}\)

Nên M, và B cùng nằm trên đường tròn có đường kính là OD

Vậy 4 điểm B,D, M, O cùng thuộc một đường tròn

Câu b

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

OC và OD là các tia phân giác của \(\widehat{\mathrm{AOM}}\) và \(\widehat{\mathrm{BOM}}\), mà \(\widehat{\mathrm{AOM}}\) và \(\widehat{\mathrm{BOM}}\) là hai góc kề bù. 

Do đó \(\mathrm{OC}\bot \mathrm{OD}\)=> Tam giác COD vuông tại O.   (đpcm)

Câu c

Ta có: CA = CM  (cm trên) => Điểm C thuộc đường trung trực của AM  (1)

                 OA = OM = R    => Điểm O thuộc đường trung trực của AM  (2)

Từ (1) và (2) suy ra OC là đường trung trực của AM => \(\mathrm{OC}\bot \mathrm{AM}\), mà \(\mathrm{BM}\bot \mathrm{AM}\). Do đó OC // BM .

Gọi \(\mathrm{BC}\cap \mathrm{ MH}=\left\{ \mathrm{I} \right\}\); \(\mathrm{BM}\cap \mathrm{ A}x=\left\{ \mathrm{N} \right\}\). Vì OC // BM => OC // BN

Xét \(\Delta\) ABC có: OC // BN, mà OA = OB = R => CA = CN.         (4)

Áp dụng hệ quả định lý Ta-lét vào hai tam giác BAC và BCN, ta có:

           \(\frac{\mathrm{IH}}{\mathrm{CA}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{BI}}{\mathrm{BC}}\) và \(\frac{\mathrm{IM}}{\mathrm{CN}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{BI}}{\mathrm{BC}}\)

Suy ra  \(\frac{\mathrm{IH}}{\mathrm{CA}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{IM}}{\mathrm{CN}}\)           (5)

Từ (4) và (5) suy ra  IH = IM   hay BC đi qua trung điểm của MH (đpcm)