Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh \(6cm.\) Người ta muốn cắt một hình thang như hình vẽ. Trong đó \(AE = 2\left( {cm} \right),AH = x\left( {cm} \right),CF = 3\left( {cm} \right),CG = y\left( {cm} \right).\) Tìm tổng \(x + y\) để diện tích hình thang \(EFGH\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có \({S_{EFGH}} = {S_{ABCD}} - {S_{AEH}} - {S_{BEF}} - {S_{CFG}} - {S_{DGH}}\)

Mà \({S_{ABCD}} = 6.6 = 36;{S_{BEF}} = \dfrac{1}{2}BE.BF = \dfrac{1}{2}.4.3 = 6\) nên \({S_{EFGH}} = 30 - \left( {{S_{\Delta AEH}} + {S_{\Delta CGF}} + {S_{\Delta DGH}}} \right)\)

Do đó \({S_{EFGH}}\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow S = {S_{\Delta AEH}} + {S_{\Delta CGF}} + {S_{\Delta DGH}}\) lớn nhất.

Ta có: \(S = \dfrac{1}{2}AE.AH + \dfrac{1}{2}CF.CG + \dfrac{1}{2}DG.DH\)     \( = x + \dfrac{{3y}}{2} + \dfrac{{\left( {6 - x} \right)\left( {6 - y} \right)}}{2}\)

\( \Rightarrow 2S = 2x + 3y + \left( {6 - x} \right)\left( {6 - y} \right)\) \( = xy - 4x - 3y + 36\) \(\left( 1 \right)\)

Ta có \(EFGH\) là hình thang \( \to \) \(\widehat {AEH} = \widehat {CGF}\)

\( \Rightarrow \Delta AEH~\Delta CGF\)\( \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{CG}} = \dfrac{{AH}}{{CF}}\) \( \Rightarrow \dfrac{2}{y} = \dfrac{x}{3} \Rightarrow xy = 6\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), suy ra \(2S = 42 - \left( {4x + \dfrac{{18}}{x}} \right)\).

Để \(2S\) lớn nhất khi và chỉ khi \(4x + \dfrac{{18}}{x}\) nhỏ nhất.

Mà \(4x + \dfrac{{18}}{x} \ge 2\sqrt {4x.\dfrac{{18}}{x}}  = 12\sqrt 2 .\)

Dấu \('' = ''\) xảy ra \( \Leftrightarrow 4x = \dfrac{{18}}{x} \Leftrightarrow x = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2} \to y = 2\sqrt 2 \).

Chọn  C.