Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(a,\) góc giữa mặt bên và đáy bằng \(60^\circ .\) Tính theo \(a\) thể tích khối chóp \(S.ABC.\)

Câu hỏi:
Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(a,\) góc giữa mặt bên và đáy bằng \(60^\circ .\) Tính theo \(a\) thể tích khối chóp \(S.ABC.\)
- A. \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)
- B. \(V = \dfrac{{{a^3}}}{8}\)
- C. \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)
- D. \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: A

Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC,\,O\) là trọng tâm tam giác \(ABC \Rightarrow SO \bot \left( {ABC} \right)\) (do \(S.ABC\) là hình chóp đều)

Suy ra \(AE \bot BC\,\)(do \(\Delta ABC\) đều) và \(SE \bot BC\) (do \(\Delta SBC\) cân tại \(S\) )

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\AE \bot BC;AE \subset \left( {ABC} \right)\,\\SE \bot BC\,;SE \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right.\) nên góc giữa \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) là \(\widehat {SEA}\) .

Từ giả thiết suy ra \(\widehat {SEA} = 60^\circ .\)

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a \Rightarrow AE = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow OE = \dfrac{1}{3}AE = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

Xét tam giác \(SOE\) vuông tại \(O\) (do \(SO \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SO \bot AE\) ) , ta có: \(SO = OE.\tan \widehat {SEO} = \dfrac{{AE}}{3}.\tan {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}.\sqrt 3 = \dfrac{a}{2}.\)

Diện tích tam giác đều \(ABC\) là: \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\)

Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SO = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}.\)

Chọn: A

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi HOC247 cung cấp đáp án và lời giải

ADSENSE