Cho hình lăng trụ đứng (ABC.A'B'C') có đáy là tam giác vuông tại A. Biết rằng (AB = { m{AA'}} = a;,,AC = 2{ m{a}}.)

Công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy:

\(R = \sqrt {{R_d}^2 + {{\left( {\frac{h}{2}} \right)}^2}} ,\) trong đó \({R_d},h\) lần lượt là bán kính tròn ngoại tiếp và chiều cao của hình chóp.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}A'B' \bot A'C'\\A'B' \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow A'B' \bot \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow A'B' \bot (MA'C').\)

\(\begin{array}{l}MA' = MC' = \sqrt {AA{'^2} + {{\left( {\frac{{AC}}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2 \\A'C' = AC = 2a.\end{array}\)

\({S_{MA'C'}} = \frac{1}{2}d\left( {M,A'C'} \right).A'C' = \frac{1}{2}.AA'.A'C' = {a^2}.\)

Gọi \({R_d}\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MA’C’.

Ta có: \({S_{MA'C'}} = \frac{{MA'.MC'.A'C'}}{{4.{R_d}}} \Leftrightarrow {R_d} = \frac{{MA'.MC'.A'C'}}{{4.{S_{MA'C'}}}} = \frac{{a\sqrt 2 .a\sqrt 2 .2a}}{{4{a^2}}} = a.\)

Hình chóp M.A’B’C’ có \(B'A' \bot (MA'C')\) nên có bán kính mặt cầu ngoại tiếp là:

\(R = \sqrt {{R_d}^2 + {{\left( {\frac{{A'B'}}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.\)