Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và $SA = a\sqrt 2$.

a) Ta có $BC \bot AB,BC \bot SA \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)$ nên $BC \bot AE$

Từ $AE \bot BC,AE \bot SB \Rightarrow AE \bot \left( {SBC} \right)$ 

Ta có $CD \bot AD,CD \bot SA \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)$ nên $CD \bot AF$

Từ $AF \bot CD,AF \bot SD \Rightarrow AF \bot \left( {SCD} \right)$

b) Ta có

$\begin{array}{l} \left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\\ AB \subset \left( {ABCD} \right),AB \bot BC\\ SB \subset \left( {SBC} \right),SB \bot BC \end{array}$

Do đó $\left( {\widehat {\left( {SBC} \right),\left( {ABCD} \right)}} \right) = \left( {\widehat {SB,AB}} \right) = \widehat {SBA} = \alpha$

Ta có $\tan \alpha  = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{a} = \sqrt 2  \Rightarrow \alpha  \approx {54^0}44'$

c) 

Gọi $O = AC \cap BD,I = SO \cap {\rm{EF,K = AI}} \cap {\rm{SC}}$

Ta được thiết diện là tứ giác AEKF

Vì $AE \bot \left( {SBC} \right),AF \bot \left( {SCD} \right)$, nên $AE \bot SC,{\rm{AF}} \bot {\rm{SC}} \Rightarrow {\rm{SC}} \bot \left( {AEF} \right) \Rightarrow AK \bot SC$

Từ GT suy ra $EF\parallel BD,BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow E{\rm{F}} \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow {\rm{EF}} \bot {\rm{AK}}$

Tam giác $SAC$ vuông cân tại A mà $AK \bot SC$ nên K là trung điểm của $SC \Rightarrow AK = \frac{1}{2}SC = \frac{1}{2}\sqrt {S{A^2} + A{C^2}}  = a$