YOMEDIA
NONE
  • Câu hỏi:

    Cho hình vuông \(C_1\) có độ dài cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để được hình vuông \(C_2\) (tham khảo hình vẽ). Từ hình vuông \(C_2\) tiếp tục làm như vậy để được hình vuông \(C_3\),... . Tiếp tục quá trình trên ta được dãy các hình vuông \({C_1},{C_2},{C_3},...,{C_n}...\). Gọi \({S_1},{S_2},{S_3},...,{S_n}...\) tương ứng là diện tích các hình vuông \({C_1},{C_2},{C_3},...,{C_n}...\).

    Tính tổng \({S_1} + {S_2} + {S_3} + ... + {S_n} + ...\)

    Lời giải tham khảo:

    Xét dãy \((a_1)\) là độ dài cạnh của của dãy hình vuông

    \({C_1},{C_2},{C_3},...,{C_n}...\) với \(a_1=4\)

    Ta có

    \({a_{n + 1}} = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{4}{a_n}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{4}{a_n}} \right)}^2}}  = {a_n}.\frac{{\sqrt {10} }}{4}\)

    Vậy dãy \((a_1)\) lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \(\frac{{\sqrt {10} }}{4}\)

    Ta có \({S_{n + 1}} = {\left( {{a_{n + 1}}} \right)^2} = {\left( {{a_n}.\frac{{\sqrt {10} }}{4}} \right)^2} = {\left( {{a_n}} \right)^2}.\frac{5}{8} = {S_n}.\frac{5}{8}\)

    Suy ra dãy \((S_n)\) lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \(q = \frac{5}{8}\) và \(S_1=16\)

    Vậy \({S_1} + {S_2} + {S_3} + ... + {S_n} + ... = \frac{{{S_1}}}{{1 - q}} = \frac{{16}}{{1 - \frac{5}{8}}} = \frac{{128}}{3}\)

    ADSENSE

Mã câu hỏi: 60169

Loại bài: Bài tập

Chủ đề :

Môn học: Toán Học

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

 
YOMEDIA

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF