Cho hàm số $f(x)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1$ và $g(x)=f\left( \left| f(x) \right|-m \right)$ cùng với x=-1, x=1 là hai điểm cực trị trong nhiều điểm cực trị của hàm số y=g(x). Khi đó số điểm cực trị của hàm y=g(x) là

Ta có: $f(x) = {x^3} - 3{x^2} + 1$ và $g(x) = f\left( {\left| {f(x)} \right| - m} \right);f( - 1) =  - 3;f(1) =  - 1;$

$g'(x) = {\left( {\left| {f(x)} \right|} \right)^\prime }.f'\left( {\left| {f(x)} \right| - m} \right) = \frac{{f(x)f'(x)}}{{\sqrt {f{{(x)}^2}} }}.f'\left( {\left| {f(x)} \right| - m} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0;x = 2\\ x = a \approx - 0.53,x = b \approx 0.65,x = c \approx 2.88\\ \left| {f(x)} \right| - m = 0\\ \left| {f(x)} \right| - m = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0;x = 2\\ x = a \approx - 0.53,x = b \approx 0.65,x = c \approx 2.88\\ \left| {f(x)} \right| = m\\ \left| {f(x)} \right| = m + 2 \end{array} \right.$(*)

Có hai điểm cực trị x = -1, x = 1 trong hàm sốy = g(x) thì hai giá trị x đó phải là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} \left| {f(x)} \right| = m\\ \left| {f(x)} \right| = m + 2 \end{array} \right.\\ \left| {f( - 1)} \right| = 3;\left| {f(1)} \right| = 1; \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 3\\ m = 1\\ m + 2 = 3\\ m + 2 = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = - 1\\ m = 1\\ m = 3 \end{array} \right.$.

- Với m = 3 thì suy ra $\left[ \begin{array}{l} \left| {f(x)} \right| = 3\\ \left| {f(x)} \right| = 5 \end{array} \right.$, tới đây ta nhận thấy hệ phương trình trên không có nghiệm x = 1 nên ta loại.

-  Với m = -1 thì suy ra $\left[ \begin{array}{l} \left| {f(x)} \right| = - 1\\ \left| {f(x)} \right| = 1 \end{array} \right.$, tới đây ta nhận thấy hệ phương trình trên không có nghiệm x = -1 nên ta loại

- Với m = 1 thì suy ra $\left[ \begin{array}{l} \left| {f(x)} \right| = 1\\ \left| {f(x)} \right| = 3 \end{array} \right.$. Do hệ phương trình này có hai nghiệm x =  - 1;x = 1 nên hệ phương trình tương đương với (dựa vào đồ thị hình bên)

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1;0;1;b;3\\ x = a';2;c' \end{array} \right.$Do hai cực trị x = 0,x = 2 đã có ở (*) nên $\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1;1;b';3\\ x = a';c' \end{array} \right.$ (6 nghiệm)

Như vậy hệ phương trình (*) có tổng cộng 11 nghiệm tương đương với hàm số y = g(x) có 11 điểm cực trị thỏa đề bài, chọn D