Biết rằng có n cặp số dương \(\left( x;y \right)\) ( với n bất kỳ) để \(x;\,{{x}^{\log \left( x \right)}};{{y}^{\log \left( y \right)}};\,x{{y}^{\log \left( xy \right)}}\) tạo thành 1 cấp số nhân. Vậy giá trị gần nhất của biểu thức \(\frac{\sum\limits_{k=1}^{n}{{{x}_{n}}}}{\sum\limits_{k=1}^{n}{{{y}_{n}}}}\) nằm trong khoảng nào ?

Tính chất: a,b,c,d lập thành một cấp số nhân

Thì \(\log \left( a \right);\log \left( b \right);\log \left( c \right);\log \left( d \right)\) sẽ tạo thành một cấp số cộng

Áp dụng vào suy ra: \(\log \left( x \right);\log \left( {{x}^{\log \left( x \right)}} \right);\log \left( {{y}^{\log \left( y \right)}} \right);\log \left( x{{y}^{\log \left( xy \right)}} \right)\) lập thành một cấp số cộng

\(\log \left( x \right);{{\left( \log \left( x \right) \right)}^{2}};{{\left( \log \left( y \right) \right)}^{2}};{{\left( \log \left( xy \right) \right)}^{2}}\) tạo thành 1 cấp số cộng

Suy ra: \({{\left( \log \left( xy \right) \right)}^{2}}-{{\left( \log \left( y \right) \right)}^{2}}={{\left( \log \left( y \right) \right)}^{2}}-{{\left( \log \left( x \right) \right)}^{2}}\)

\(\Leftrightarrow \left( \log \left( xy \right)-\log \left( y \right) \right)\left( \log \left( xy \right)+\log \left( y \right) \right)={{\left( \log \left( y \right) \right)}^{2}}-{{\left( \log \left( x \right) \right)}^{2}}\)

\(\Rightarrow {{\left( \log \left( y \right) \right)}^{2}}-2\log \left( x \right)\log \left( y \right)-2{{\left( \log \left( x \right) \right)}^{2}}=0\) (1)

Tương tự \({{\left( \log \left( y \right) \right)}^{2}}-{{\left( \log \left( x \right) \right)}^{2}}={{\left( \log \left( x \right) \right)}^{2}}-\log \left( x \right)\Rightarrow {{\left( \log \left( y \right) \right)}^{2}}-2{{\left( \log \left( x \right) \right)}^{2}}+\log \left( x \right)=0\) (2)

\(\left( 2 \right)-\left( 1 \right)\Rightarrow 2\log \left( y \right)\log \left( x \right)+\log \left( x \right)=0\)

\(\Leftrightarrow \log \left( x \right)\left[ 2\log \left( y \right)+1 \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=1 \\ y=\frac{1}{\sqrt{10}} \\ \end{matrix} \right. \)

TH1: x=1 thì \(\log \left( y \right)=0\to y=1\to \left( x;y \right)=\left( 1;1 \right)=\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)\)

TH2: \(y=\frac{1}{\sqrt{10}}\) thì \(2{{\left( \log \left( x \right) \right)}^{2}}-\log \left( x \right)-\frac{1}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow \log \left( x \right)=\frac{1\pm \sqrt{3}}{4}\Rightarrow x={{10}^{\frac{1\pm \sqrt{3}}{4}}}\)

\(\Rightarrow \left( x;y \right)=\left( {{10}^{\frac{1+\sqrt{3}}{4}}};\frac{1}{\sqrt{10}} \right)=\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\) và \(\left( x;y \right)=\left( {{10}^{\frac{1-\sqrt{3}}{4}}};\frac{1}{\sqrt{10}} \right)=\left( {{x}_{3}};{{y}_{3}} \right)\)

\(\Rightarrow S\approx 3.96687...\in \left( 3.9;4 \right)\)