Cho hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+nx-1\) với \(m,n\) là các tham số thực thỏa mãn \(m+n>0\) và \(7+2\left( 2m+n \right)<0.\) Tìm số điểm cực trị của hàm số \(y=\left| f\left( \left| x \right| \right) \right|.\)

Giả thiết \(\left\{ \begin{array}{l} f\left( x \right) = {x^3} + m{x^2} + nx - 1\\ m + n > 0\\ 7 + 2\left( {2m + n} \right) < 0 \end{array} \right.\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l} f\left( 0 \right) = - 2\\ f\left( 1 \right) = m + n > 0\\ f\left( 2 \right) = 7 + 2\left( {2m + n} \right) < 0\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) < 0\\ f\left( 1 \right).f\left( 2 \right) < 0\\ f\left( 2 \right) < 0\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \end{array} \right.\) (với lại f(x) liên tục trên R)

\(\Rightarrow f\left( x \right)=0\) có 3 nghiệm lần lượt là \({{x}_{1}}\in \left( 0;1 \right),{{x}_{2}}\in \left( 1;2 \right),{{x}_{3}}\in \left( 2;+\infty  \right)\)

(do \(f\left( x \right)\) là đa thức bậc ba nên có tối đa 3 nghiệm.)

Như vậy đồ thị của hàm số \(y=f\left( x \right)\) có 2 điểm cực trị đều nằm bên phải trục tung.

Ta phác họa đồ thị \(y=f\left( x \right)\) như sau

Từ đó suy ra đồ thị \(y=f\left( \left| x \right| \right)\) như hình bên dưới

Cuối cùng, đồ thị của hàm số \(y=\left| f\left( \left| x \right| \right) \right|\) như sau

Kết luận, đồ thị hàm số \(y=\left| f\left( \left| x \right| \right) \right|\) có 11 điểm cực trị.