Cho hàm số \(f\left( x \right)=\left| 3{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+12x+m+2 \right|.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\in \left[ -20;30 \right]\) sao cho với mọi số thực \(a,b,c\in \left[ 1;3 \right]\) thì \(f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( c \right)\) là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Xét hàm số \(g\left( x \right)=3{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+12x+m+2,\) ta có:

                   \(g'\left( x \right)=9{{x}^{2}}-18x+12=9{{\left( x-1 \right)}^{2}}+3>0\)

Vậy hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ 1;3 \right].\)

Suy ra: \(\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)=g\left( 1 \right)=m+8,\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=g\left( 3 \right)=m+38.\)

Vì \(f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( x \right)\) là độ dài ba cạnh của một tam giác nên:

\(f\left( x \right) > 0\forall x \in \left[ {1;3} \right],\) suy ra: \(g\left( 1 \right).g\left( 3 \right) > 0 \Leftrightarrow \left( {m + 8} \right)\left( {m + 38} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m > - 8\\ m < - 38 \end{array} \right..\)

Suy ra trên đoạn \(\left[ -20;30 \right]\) thì \(m>-8.\)

\(f\left( 1 \right)=\left| 8+m \right|=m+8,f\left( 2 \right)=\left| 14+m \right|=m+14,f\left( 3 \right)=\left| 38+m \right|=m+38.\)

Mặt khác với mọi số thực \(a,b,c\in \left[ 1;3 \right]\) thì \(f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( x \right)\) là độ dài ba cạnh của một tam giác khi và chỉ khi \(f\left( 1 \right),f\left( 1 \right),f\left( 3 \right)\) cũng là độ dài ba cạnh của tam giác.

\(\Leftrightarrow f\left( 1 \right)+f\left( 1 \right)>f\left( 3 \right)\Leftrightarrow 2m+16>m+38\Leftrightarrow m>22.\)

Với \(m\in \left[ -20;30 \right]\) thì ta có 8 giá trị nguyên.