Cho hai số thực \(x,y\) thay đổi thỏa mãn \(x+y+1=2\left( \sqrt{x-2}+\sqrt{y+3} \right)\).Giá trị lớn nhất của biểu thức \(S={{3}^{x+y-4}}+\left( x+y+1 \right){{2}^{7-x-y}}-3\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\) là \(\frac{a}{b}\) với \(a,b\) là các số nguyên dương và \(\frac{a}{b}\) tối giản. Tính \(a+b\).

Chú ý với hai căn thức ta có đánh giá sau: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge \sqrt{a+b}$ và $\sqrt{a}+\sqrt{b}\le \sqrt{2\left( a+b \right)}\).

Vậy theo giả thiết,ta có \(x+y+1=2\left( \sqrt{x-2}+\sqrt{y+3} \right)\ge 2\sqrt{x+y+1}\Rightarrow \left[ \begin{align} & x+y+1=0 \\ & x+y+1\ge 4 \\ \end{align} \right.\)

Và \(x+y+1=2\left( \sqrt{x-2}+\sqrt{y+3} \right)\le 2\sqrt{2\left( x+y+1 \right)}\Rightarrow x+y+1\le 8\).

 Nếu \(x+y+1=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=2 \\ & y=-3 \\ \end{align} \right.\Rightarrow S=-\frac{9476}{243}\)

 Nếu \(t=x+y\in \left[ 3;7 \right]\),ta có

\({{x}^{2}}\ge 2x\left( x\ge 2 \right);{{\left( y-1 \right)}^{2}}\ge 0\Rightarrow {{y}^{2}}\ge 2y-1\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 2\left( x+y \right)-1\).

Vì vậy \(S\le {{3}^{x+y-4}}+\left( x+y+1 \right){{2}^{7-x-y}}-6\left( x+y \right)+3\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)={{3}^{t-4}}+\left( t+1 \right){{2}^{7-t}}-6t+3\) trên đoạn \(\left[ 3;7 \right]\) ta có:

\(f'\left( t \right)={{3}^{t-4}}\ln 3+{{2}^{7-t}}-\left( t+1 \right){{2}^{7-t}}\ln 2-6\).

\(f''\left( t \right)={{3}^{t-4}}{{\ln }^{2}}3+{{2}^{7-t}}\ln 2-\left( {{2}^{7-t}}-\left( t+1 \right){{2}^{7-t}}\ln 2 \right)\ln 2\)

\(={{3}^{t-4}}{{\ln }^{2}}3+\left[ \left( t+1 \right)\ln 2-2 \right]{{2}^{7-t}}\ln 2>0,\forall t\in \left[ 3;7 \right]\).

Mặt khác \(f'\left( 3 \right)f'\left( 7 \right)<0\Rightarrow f'\left( t \right)=0\) có nghiệm duy nhất \({{t}_{0}}\in \left( 3;7 \right)\).

Vậy ta lập được bảng biến thiên của hàm số \(f\left( t \right)\) như dưới đây:

Suy ra \(\max S=\underset{\left[ 3;7 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( t \right)=f\left( 3 \right)=\frac{148}{3}\).Dấu bằng đạt tại \(x=2;y=1\).

Do đó \(T=148+3=151\).