Cho hai đường thẳng song song (d), (d) và một điểm O không nằm trên chúng.

Với giả thiết có hai trường hợp là:

\(O \in \left( {\left( d \right),\left( {d'} \right)} \right)\) hoặc \(O \notin \left( {\left( d \right),\left( {d'} \right)} \right)\).

TH1: Nếu \(O \in \left( {\left( d \right),\left( {d'} \right)} \right)\), với \(M \in \left( d \right)\) ta có:

\(V_O^k\left( M \right) = M' \in \left( {d'} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OM'}  = k\overrightarrow {OM} \).

Gọi H, H' theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của O lên (d) và (d’), suy ra:

\(\overrightarrow {OH'}  = k\overrightarrow {OH} \) ⇒ k không đổi.

Vậy, trong trường hợp này có đúng một phép vị tự tâm O biến (d) thành (d’).

TH2: Nếu \(O \notin \left( {\left( d \right),\left( {d'} \right)} \right)\) thì không có phép vị tự tâm O nào biến (d) thành (d’), bởi nếu trái lại với \(M \in \left( d \right)\) ta có:

\(V_O^k\left( M \right) = M' \in \left( {d'} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OM'}  = k\overrightarrow {OM} \) 

\(\Rightarrow \) O, M, M' thẳng hàng

\(\Rightarrow O \in \left( {\left( d \right),\left( {d'} \right)} \right)\), mâu thuẫn.

Vậy, trong trường hợp này không có phép vị tự tâm O nào biến (d) thành (d’).