Cho f(x)=e^(sqrt(1+1/x^2+1/(x+1)^2) biết rằng f(1).f(2).f(3)...f(2017)=e^(m/n) với m.n là các số tự nhiên và m/n tối giản

Đặt  $g\left( x \right) = \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} = \frac{{\sqrt {{x^2} + {{\left( {x + 1} \right)}^2} + {x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^2}} }}{{x\left( {x + 1} \right)}}$

$= \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}}1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}$

Suy ra $g\left( 1 \right) + g\left( 2 \right) + g\left( 3 \right) + ... + g\left( {2017} \right)$  

$= 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + 1 + \frac{1}{{2017}} - \frac{1}{{2018}} = 2018 - \frac{1}{{2018}}.$

Khi đó $f\left( 1 \right).f\left( 2 \right).f\left( 3 \right)...f\left( {2017} \right) = {e^{g\left( 1 \right) + g\left( 2 \right) + g\left( 3 \right) + ... + g\left( {2017} \right)}} = {e^{2018 - \frac{1}{{2018}}}}$ 

$= {e^{\frac{{{{2018}^2} - 1}}{{2018}}}} = {e^{\frac{m}{n}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = {{2018}^2} - 1}\\ {n = 2018} \end{array}} \right.$

Vậy phép tính $m - {n^2} = {2018^2} - 1 - {2018^2} = - 1$.