Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A (AB < AC). Vẽ đường cao AH của \(\Delta ABC\). Trên đoạn HC lấy M sao cho BM = AB.

a) Ta có \(\widehat {BAM}{\rm{ }} + {\rm{ }}\widehat {MAC}{\rm{ }} = {\rm{ }}\widehat {BAC}{\rm{ }} = {\rm{ }}{90^0}.\) 

AB = BM (gt)

\( \Rightarrow \Delta  ABM\) cân tại B \(\Rightarrow \widehat {BAM}{\rm{ }} = {\rm{ }}\widehat {BMA}\)

\( \Rightarrow \widehat {BMA}{\rm{ }} = {\rm{ }}\widehat {BAM} = {90^0} - \widehat {MAC}\)    (1)

Mặt khác \(\Delta HAM\) vuông tại H có \(\widehat {BMA} = {90^0} - \widehat {HAM}\)   (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {HAM} = \widehat {MAC}\)

\( \Rightarrow \) AM là tia phân giác của \(\widehat {HAC}\) 

b) \(\Delta ABM\) cân tại B, có BE là phân giác (gt).

\( \Rightarrow \) BE là trung trực của AM mà \(N \in BE \Rightarrow NA = NM\)

\( \Rightarrow \Delta ANM\) cân tại \(N \Rightarrow \widehat {{M_1}} = \widehat {{A_1}}\) mà \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\). Suy ra \(\widehat {{M_1}} = {\rm{ }}\widehat {{A_2}}\) \( \Rightarrow\) MN // AC.

mà \(AB \bot AC\,\,\left( {\widehat {BAC} = {{90}^0}} \right) \Rightarrow MN \bot AB\)