Cho $\Delta ABC$ vuông tại A (AB < AC). Vẽ đường cao AH của $\Delta ABC$. Trên đoạn HC lấy M sao cho BM = AB.

a) Ta có $\widehat {BAM}{\rm{ }} + {\rm{ }}\widehat {MAC}{\rm{ }} = {\rm{ }}\widehat {BAC}{\rm{ }} = {\rm{ }}{90^0}.$ 

AB = BM (gt)

$\Rightarrow \Delta  ABM$ cân tại B $\Rightarrow \widehat {BAM}{\rm{ }} = {\rm{ }}\widehat {BMA}$

$\Rightarrow \widehat {BMA}{\rm{ }} = {\rm{ }}\widehat {BAM} = {90^0} - \widehat {MAC}$    (1)

Mặt khác $\Delta HAM$ vuông tại H có $\widehat {BMA} = {90^0} - \widehat {HAM}$   (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat {HAM} = \widehat {MAC}$

$\Rightarrow$ AM là tia phân giác của $\widehat {HAC}$ 

b) $\Delta ABM$ cân tại B, có BE là phân giác (gt).

$\Rightarrow$ BE là trung trực của AM mà $N \in BE \Rightarrow NA = NM$

$\Rightarrow \Delta ANM$ cân tại $N \Rightarrow \widehat {{M_1}} = \widehat {{A_1}}$ mà $\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}$. Suy ra $\widehat {{M_1}} = {\rm{ }}\widehat {{A_2}}$ $\Rightarrow$ MN // AC.

mà $AB \bot AC\,\,\left( {\widehat {BAC} = {{90}^0}} \right) \Rightarrow MN \bot AB$